จงหาสมการถดถอยกำลังสองของจุดข้อมูล (10, 2.9), (20, 4.0) และ (30, 4.9) แล้วคำนวณสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ R กำลังสอง พร้อมแสดงที่มา

Step-by-step solution

1. 1

   ตระหนักก่อนว่าไม่ต้องใช้กลไกกำลังสองน้อยที่สุดเลย พหุนามกำลังสองมีพารามิเตอร์อิสระสามตัวคือ $a$, $b$, $c$ และมีจุดข้อมูลสามจุดพอดี จุดสามจุดที่มีค่า $x$ ต่างกันกำหนดพาราโบลาได้เพียงรูปเดียว การฟิตแบบกำลังสองน้อยที่สุด คือ พาราโบลาที่ผ่านทุกจุดพอดี ผลรวมกำลังสองของเศษเหลือที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือ $0$ และทำได้จริงด้วย นี่คือเหตุผลที่โจทย์ทั้งข้อย่อลงเหลือการแก้ระบบเชิงเส้น $3\times3$

2. 2

   แทนแต่ละจุดลงใน $y=ax^2+bx+c$

   $100a+10b+c=2.9\qquad(1)$

   $400a+20b+c=4.0\qquad(2)$

   $900a+30b+c=4.9\qquad(3)$

3. 3

   กำจัด $c$ ด้วยการลบสมการที่ติดกัน การหาผลต่างกำจัด $c$ ได้ทันที เพราะสัมประสิทธิ์ของมันเท่ากันทั้งสามสมการ

   $(2)-(1):\quad300a+10b=1.1\;\Longrightarrow\;30a+b=0.11\qquad(A)$

   $(3)-(2):\quad500a+10b=0.9\;\Longrightarrow\;50a+b=0.09\qquad(B)$

4. 4

   หาผลต่างอีกครั้งเพื่อหา $a$ แล้วแทนกลับ

   $(B)-(A):\quad20a=-0.02\;\Longrightarrow\;a=-0.001$

   $\text{จาก }(A):\;30(-0.001)+b=0.11\;\Longrightarrow\;b=0.14$

   $\text{จาก }(1):\;-0.1+1.4+c=2.9\;\Longrightarrow\;c=1.6$

   สมการถดถอยคือ

   $y=-0.001x^2+0.14x+1.6$

   การหาผลต่างสองชั้นก็คือ ผลต่างอันดับสอง ของข้อมูล ($0.9-1.1=-0.2$ ต่อการเพิ่มขึ้นทีละ $10$) ซึ่งเป็นเหตุผลที่ $a$ ออกมาติดลบ เพราะส่วนที่เพิ่มขึ้นค่อย ๆ หดลง เส้นโค้งจึงโค้งลง

5. 5

   คำนวณค่าที่ฟิตได้และผลรวมกำลังสองของเศษเหลือ

   $\hat y(10)=-0.1+1.4+1.6=2.9,\quad \hat y(20)=-0.4+2.8+1.6=4.0,\quad \hat y(30)=-0.9+4.2+1.6=4.9$

   ค่าที่ฟิตได้ทุกค่าเท่ากับค่าที่สังเกตได้ ดังนั้น

   $SS_{\text{res}}=\sum(y_i-\hat y_i)^2=0$

6. 6

   ปิดท้ายด้วย $R^2$ และตรวจว่าตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ เมื่อ $\bar y=\frac{2.9+4.0+4.9}{3}=3.9333$

   $SS_{\text{tot}}=\sum(y_i-\bar y)^2=(-1.0333)^2+(0.0667)^2+(0.9667)^2=2.0067\neq0$

   ดังนั้น $R^2$ นิยามได้ และ

   $R^2=1-\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}=1-\frac{0}{2.0067}=1$

7. 7

   อ่านผลลัพธ์ด้วยความระแวงในระดับที่พอเหมาะ ค่า $R^2=1$ ในที่นี้เป็นความแน่นอนเชิงโครงสร้าง ไม่ใช่หลักฐานว่าแบบจำลองกำลังสองดี จุดสามจุดใด ๆ ต่อให้มีสัญญาณรบกวนเพียงใด ก็ให้ $R^2=1$ สำหรับการฟิตกำลังสอง เช่นเดียวกับที่จุดสองจุดใด ๆ ให้ $R^2=1$ สำหรับเส้นตรง การจะเรียนรู้อะไรเกี่ยวกับคุณภาพของแบบจำลองได้ ต้องมีจุดข้อมูลมากกว่าจำนวนพารามิเตอร์ เมื่อ $n=3$ และมีพารามิเตอร์ $3$ ตัว องศาเสรีของเศษเหลือเป็นศูนย์ และค่า $R^2$ ปรับแก้ก็นิยามไม่ได้