กลุ่มตัวอย่างขนาด n = 278 มีค่าเฉลี่ยตัวอย่าง 8.83 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง 41.40 จงสร้างช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับค่าเฉลี่ยประชากร

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกสูตรช่วงความเชื่อมั่นให้ถูก ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร $\sigma$ ไม่ทราบค่าและถูก ประมาณ มาจากกลุ่มตัวอย่าง การสร้างที่ถูกต้องจึงเป็นช่วงแบบ $t$

   $\bar x\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt n}$

   ที่องศาเสรี $n-1=277$ เมื่อ $n=278$ กลุ่มตัวอย่างใหญ่พอที่ทฤษฎีบทลิมิตกลางทำให้ช่วงนี้ใช้ได้แม้ข้อมูลตั้งต้นจะไม่เป็นการแจกแจงปกติ ซึ่งสำคัญในโจทย์นี้ เพราะ $s=41.40$ มากกว่าค่าเฉลี่ยเกือบห้าเท่า เป็นสัญญาณชัดว่าตัวแปรเบ้มาก

2. 2

   คำนวณความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย ค่านี้วัดว่า $\bar x$ เองจะแกว่งไปมาแค่ไหนเมื่อสุ่มตัวอย่างใหม่

   $SE=\frac{s}{\sqrt n}=\frac{41.40}{\sqrt{278}}=\frac{41.40}{16.6733}=2.4830$

   $\sqrt n$ ที่อยู่ตัวส่วนคือเหตุผลที่กลุ่มตัวอย่างใหญ่ช่วยได้ การกระจายดิบ $41.40$ ถูกหั่นลงเกือบ $17$ เท่า

3. 3

   เปิดค่าวิกฤตสำหรับความเชื่อมั่น $95\%$ ที่ความเชื่อมั่น $95\%$ จะได้ $\alpha=0.05$ และแต่ละหางมี $0.025$ เมื่อ $df=277$

   $t_{0.025,\,277}=1.9686$

   สูงกว่าค่าปกติ $z_{0.025}=1.9600$ อยู่เพียงเส้นยาแดง เพราะการแจกแจง $t$ ที่มีองศาเสรีหลายร้อยแทบแยกไม่ออกจากการแจกแจงปกติมาตรฐาน การใช้ $z$ ตรงนี้พอแก้ตัวได้ แต่ $t$ คือทางเลือกที่ถูกต้องทางเทคนิคเสมอเมื่อ $\sigma$ ถูกประมาณเอา

4. 4

   คูณเพื่อหาความคลาดเคลื่อน

   $ME=t\cdot SE=1.9686\times2.4830=4.8880$

   ให้ปัดเศษตอนท้ายสุดเท่านั้น ถ้าปัด $SE$ เป็น $2.48$ ก่อน จุดปลายช่วงจะเลื่อนไปในทศนิยมตำแหน่งที่สาม

5. 5

   ประกอบเป็นช่วง

   $\bar x\pm ME=8.83\pm4.888\;\Longrightarrow\;(8.83-4.888,\;8.83+4.888)=(3.942,\;13.718)$

   รายงานด้วยทศนิยมสองตำแหน่ง ช่วงความเชื่อมั่น $95\%$ ของ $\mu$ คือ $(3.94,\;13.72)$ เทียบกันแล้ว ช่วงที่คำนวณด้วย $z$ จะเป็น $(3.96,\;13.70)$ ต่างกันไม่เกินสองในร้อย ซึ่งเป็นไปตามที่คาดเมื่อกลุ่มตัวอย่างใหญ่ขนาดนี้

6. 6

   ตีความให้ถูกต้อง ข้อความนี้พูดถึง กระบวนการ ไม่ใช่ช่วงเพียงช่วงเดียวนี้ ถ้าสุ่มตัวอย่างซ้ำหลาย ๆ ครั้ง จะมี $95\%$ ของช่วงที่สร้างแบบนี้ที่คลุมค่าเฉลี่ยจริง $\mu$ ไว้ และ ไม่ ถูกต้องที่จะพูดว่า $95\%$ ของข้อมูลรายค่าตกอยู่ใน $(3.94,13.72)$ เพราะการกระจายของข้อมูลถูกกำหนดโดย $s=41.40$ ซึ่งกว้างกว่าช่วงนี้ราวสิบเจ็ดเท่า ช่วงนี้อธิบายเพียงความไม่แน่นอนของ ค่าเฉลี่ย เท่านั้น