สำรับ 60 ใบมีการ์ด 5 ใบทำเครื่องหมาย A และการ์ดอีก 23 ใบทำเครื่องหมาย B จั่วการ์ด 5 ใบแบบสุ่มโดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่การ์ดทั้งห้าใบจะมี A อย่างน้อยหนึ่งใบและ B อย่างน้อยหนึ่งใบเป็นเท่าใด

Step-by-step solution

1. 1

   นับกลุ่มการ์ดที่ไม่ซ้อนทับกันทั้งสามกลุ่ม เครื่องหมายไม่ทับซ้อนกัน สำรับจึงแยกออกเป็น

   $5\ \text{ใบทำเครื่องหมาย A},\qquad 23\ \text{ใบทำเครื่องหมาย B},\qquad 60-5-23=32\ \text{ใบไม่มีเครื่องหมาย}$

   การนับทุกครั้งต่อจากนี้คือการเลือกการ์ด $5$ ใบจากกองย่อยเหล่านี้กองใดกองหนึ่ง และจำนวนมือทั้งหมดที่มีโอกาสเท่ากันคือ

   $\binom{60}{5}=5{,}461{,}512$

2. 2

   เปลี่ยนไปใช้ส่วนเติมเต็ม เพราะ "อย่างน้อยหนึ่ง … และอย่างน้อยหนึ่ง …" ลุยตรง ๆ แล้วทรมาน การนับมือที่มี A หนึ่งใบ สองใบ สามใบ … พร้อมกับต้องคอยตาม B ไปด้วย หมายถึงผลบวกสองชั้น ให้กำหนดแทนว่า

   $A=\{\text{มี A อย่างน้อยหนึ่งใบ}\},\qquad B=\{\text{มี B อย่างน้อยหนึ่งใบ}\}$

   แล้วใช้หลักการรวมและตัดกับส่วนเติมเต็ม

   $P(A\cap B)=1-P(A^c\cup B^c)=1-P(A^c)-P(B^c)+P(A^c\cap B^c)$

   เหตุการณ์ส่วนเติมเต็มทั้งสามอธิบายมือที่จั่วจากกองที่ถูกจำกัดเพียง กองเดียว แต่ละอันจึงเป็นสัมประสิทธิ์ทวินามตัวเดียว พจน์ $+P(A^c\cap B^c)$ จำเป็นมาก เพราะมือที่ไม่มีเครื่องหมายเลยถูกลบไปสองครั้ง จึงต้องบวกคืนหนึ่งครั้ง

3. 3

   นับมือที่ไม่มี A มือเหล่านี้มาจากการ์ดที่ไม่ใช่ A จำนวน $60-5=55$ ใบ

   $P(A^c)=\frac{\binom{55}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{3{,}478{,}761}{5{,}461{,}512}=0.63696$

4. 4

   นับมือที่ไม่มี B มือเหล่านี้มาจากการ์ดที่ไม่ใช่ B จำนวน $60-23=37$ ใบ

   $P(B^c)=\frac{\binom{37}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{435{,}897}{5{,}461{,}512}=0.07981$

   การที่ความน่าจะเป็นนี้เล็กเป็นการตรวจความสมเหตุสมผลที่คาดไว้ เพราะเมื่อ $23$ ใบจาก $60$ ใบทำเครื่องหมาย B การจั่วห้าใบแล้วพลาดหมดทุกใบย่อมเกิดยาก

5. 5

   นับมือที่ไม่มีเครื่องหมายใดเลย มือเหล่านี้จั่วมาจากการ์ดที่ไม่มีเครื่องหมาย $32$ ใบเท่านั้น

   $P(A^c\cap B^c)=\frac{\binom{32}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{201{,}376}{5{,}461{,}512}=0.03687$

6. 6

   รวมผล นำจำนวนทั้งสี่มาไว้บนตัวส่วนร่วม $\binom{60}{5}$

   $P(A\cap B)=\frac{5{,}461{,}512-3{,}478{,}761-435{,}897+201{,}376}{5{,}461{,}512}=\frac{1{,}748{,}230}{5{,}461{,}512}$

   $P(A\cap B)=0.32010\approx32.0\%$

7. 7

   ตรวจผลลัพธ์กับค่าที่คาดคร่าว ๆ โอกาสได้ A อย่างน้อยหนึ่งใบเพียงลำพังคือ $1-0.63696=0.36304$ และโอกาสได้ B อย่างน้อยหนึ่งใบเพียงลำพังคือ $1-0.07981=0.92019$ ถ้าเหตุการณ์ทั้งสองเป็นอิสระกัน ผลคูณจะเป็น $0.36304\times0.92019=0.33406$ ส่วนคำตอบจริง $0.32010$ ต่ำกว่าเล็กน้อย ซึ่งถูกต้องพอดี เพราะเหตุการณ์ทั้งสองสหสัมพันธ์กัน ทางลบ อย่างอ่อน ๆ ช่องในมือห้าใบที่ถูก A ใช้ไปคือช่องที่ B ใช้ไม่ได้