ในระบบอีเมลหนึ่ง 20% ของข้อความทั้งหมดเป็นสแปม โดย 70% ของข้อความสแปมมีคำว่า "lottery" ขณะที่ข้อความปกติมีคำนี้เพียง 12.5% ถ้าได้รับข้อความที่มีคำว่า "lottery" ความน่าจะเป็นที่ข้อความนั้นเป็นสแปมเท่ากับเท่าใด

Step-by-step solution

1. 1

   ตั้งชื่อเหตุการณ์และจัดระเบียบตัวเลขที่โจทย์ให้ ให้ $G$ = "ข้อความเป็นสแปม", $N$ = "ข้อความเป็นอีเมลปกติ" และ $L$ = "ข้อความมีคำว่า lottery" ข้อมูลที่ให้มาคือ

   $P(G)=0.2,\qquad P(N)=0.8$
   $P(L\mid G)=0.7,\qquad P(L\mid N)=0.125$

   สังเกตทิศทางของเงื่อนไข โจทย์ให้ความน่าจะเป็นของ คำ เมื่อรู้ ประเภท แต่ถามความน่าจะเป็นของประเภทเมื่อรู้คำ การกลับทิศของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือหน้าที่ของทฤษฎีบทของเบส์พอดี

2. 2

   เขียนทฤษฎีบทของเบส์สำหรับสิ่งที่โจทย์ถาม

   $P(G\mid L)=\frac{P(L\mid G)\,P(G)}{P(L)}$

   ตัวเศษคือความน่าจะเป็นที่เป็นสแปม และ มีคำนั้น ส่วนตัวส่วนคือความน่าจะเป็นที่มีคำนั้นเลย เมื่อมองอีเมลทั้งกระแส

3. 3

   หาตัวส่วนจากกฎความน่าจะเป็นรวม ทุกข้อความเป็นสแปมหรือไม่ก็ปกติ สองกรณีนี้จึงแบ่งปริภูมิตัวอย่างออกจากกันหมด

   $P(L)=P(L\mid G)P(G)+P(L\mid N)P(N)=0.7\times 0.2+0.125\times 0.8$
   $P(L)=0.14+0.10=0.24$

   ราวหนึ่งในสี่ของข้อความจึงมีคำนี้ และมวลส่วนใหญ่มาจากกองอีเมลปกติที่มีจำนวนมากกว่ามาก

4. 4

   แทนค่าและจัดรูปเป็นเศษส่วนที่แน่นอน

   $P(G\mid L)=\frac{0.14}{0.24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.5833$

5. 5

   ตีความผลลัพธ์และตรวจความสมเหตุสมผล การเห็นคำนี้ดันความน่าจะเป็นที่เป็นสแปมจากค่าก่อนหน้า $20\%$ ขึ้นมาราว $58.3\%$ ถือเป็นหลักฐานที่หนักแน่น แต่ยังห่างจากความแน่นอน เพราะตั้งต้นแล้วอีเมลปกติมีมากกว่าถึงสี่เท่า วิธีตรวจที่ใช้ได้ดี สมมติมีข้อความ $1000$ ฉบับ เป็นสแปม $200$ ฉบับ ในนั้นมีคำนี้ $140$ ฉบับ ส่วนอีเมลปกติ $800$ ฉบับ มีคำนี้ $100$ ฉบับ ในบรรดา $240$ ฉบับที่ติดคำนี้ เป็นสแปม $140$ ฉบับ คือ $140/240=7/12$ ตรงกับสูตร