เครื่องคำนวณความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น วัดว่าเหตุการณ์มีโอกาสเกิดขึ้นมากแค่ไหน แสดงเป็นจำนวนระหว่าง $0$ และ $1$ (หรือเทียบเท่ากับ $0\%$ ถึง $100\%$)

$P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}$

แนวคิดสำคัญ

• แซมเปิลสเปซ $S$: เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
• เหตุการณ์ $A$: เซตย่อยของแซมเปิลสเปซ
• คอมพลีเมนต์ $A'$: เหตุการณ์ที่ $A$ ไม่เกิดขึ้น; $P(A') = 1 - P(A)$

ประเภทของความน่าจะเป็น

• ความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎี: อิงจากการให้เหตุผลเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน (เช่น เหรียญที่ยุติธรรมมี $P(\text{หัว}) = \frac{1}{2}$)
• ความน่าจะเป็นเชิงทดลอง: อิงจากความถี่ที่สังเกตจากการทดลอง
• ความน่าจะเป็นเชิงอัตวิสัย: อิงจากการตัดสินส่วนบุคคลหรือความเชี่ยวชาญ

กฎความน่าจะเป็น

• $0 \le P(A) \le 1$ สำหรับเหตุการณ์ $A$ ใด ๆ
• $P(S) = 1$ (บางอย่างต้องเกิดขึ้น)
• $P(\emptyset) = 0$ (เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้)

ความน่าจะเป็นพื้นฐาน

สำหรับผลลัพธ์ที่มีโอกาสเท่ากัน:

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{favorable outcomes}}{\text{total outcomes}}$

กฎการบวก (หรือ)

สำหรับความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ $A$ หรือ เหตุการณ์ $B$ เกิดขึ้น:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

ถ้า $A$ และ $B$ ไม่เกิดร่วมกัน (เกิดพร้อมกันไม่ได้):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

กฎการคูณ (และ)

สำหรับความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ $A$ และ เหตุการณ์ $B$ เกิดทั้งคู่:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

ถ้า $A$ และ $B$ เป็นอิสระต่อกัน:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ความน่าจะเป็นของ $A$ เมื่อ $B$ ได้เกิดขึ้นแล้ว:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

ความน่าจะเป็นทวินาม

ความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ $k$ ครั้งพอดีใน $n$ การทดลองอิสระ แต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น $p$:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

โดยที่ $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

ตารางสรุป

• สมมติว่าเหตุการณ์เป็นอิสระเมื่อไม่ใช่ — การหยิบไพ่โดยไม่ใส่คืนเปลี่ยนความน่าจะเป็นหลังการหยิบแต่ละครั้ง
• ลืมลบส่วนที่ซ้อนทับในกฎการบวก — เมื่อเหตุการณ์เกิดร่วมกันได้ คุณต้องลบ $P(A \cap B)$ เพื่อหลีกเลี่ยงการนับซ้ำ
• สับสน "และ" กับ "หรือ" — "และ" หมายถึงเหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้น (คูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระ); "หรือ" หมายถึงอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้น (บวกความน่าจะเป็น)
• ไม่พิจารณาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดในแซมเปิลสเปซ — ตรวจให้แน่ใจว่านับจำนวนทั้งหมดถูกต้อง โดยเฉพาะกับการจัดหมู่และการเรียงสับเปลี่ยน
• สับสนทิศทางความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข — $P(A|B)$ ไม่เหมือนกับ $P(B|A)$