กลุ่มตัวอย่างขนาด N = 8 มีผลรวม X = 48 และผลรวม X^2 = 351 จงทดสอบคะแนนเทียบกับค่าเฉลี่ยตามสมมติฐาน 2.00 หาค่า t ตัดสินว่าจะปฏิเสธสมมติฐานว่างหรือไม่ และคำนวณขนาดอิทธิพล

Step-by-step solution

1. 1

   หาค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างจากผลรวมได้ทันที

   $\bar X=\frac{\sum X}{N}=\frac{48}{8}=6$

   การทดสอบ $t$ ไม่จำเป็นต้องใช้ข้อมูลดิบเลย เพราะ $N$, $\sum X$ และ $\sum X^{2}$ บรรจุข้อมูลทั้งหมดที่การทดสอบใช้ไว้แล้ว

2. 2

   ใช้สูตรคำนวณของผลรวมกำลังสอง นิยาม $\sum(X-\bar X)^2$ ต้องใช้คะแนนรายตัว แต่รูปที่สมมูลกันทางพีชคณิตไม่ต้องใช้

   $SS=\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}=351-\frac{48^{2}}{8}=351-288=63$

   $s^{2}=\frac{SS}{N-1}=\frac{63}{7}=9\qquad\Longrightarrow\qquad s=3$

   การหารด้วย $N-1$ แทนที่จะเป็น $N$ คือสิ่งที่ทำให้ $s^2$ เป็นตัวประมาณที่ไม่เอนเอียงของความแปรปรวนประชากร และยังเป็นสิ่งที่กำหนดองศาเสรีไว้ที่ $7$ ด้วย

3. 3

   แปลงส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างเป็นความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน ตัวสถิติทดสอบเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยกับ $\mu_0$ ในหน่วยของการแกว่งตัวของค่าเฉลี่ยจากกลุ่มตัวอย่าง

   $SE=\frac{s}{\sqrt N}=\frac{3}{\sqrt 8}=\frac{3}{2.8284}=1.0607$

4. 4

   คำนวณตัวสถิติ $t$

   $t=\frac{\bar X-\mu_0}{SE}=\frac{6-2}{1.0607}=3.771\qquad(df=N-1=7)$

   ถ้าตัวเลือกในข้อสอบไม่มีค่าใกล้ $3.77$ คำตอบที่ถูกคือ "ไม่มีข้อใดถูก" อย่าปัดเศษเพื่อให้ไปตรงกับตัวเลือกข้างเคียง

5. 5

   เทียบกับค่าวิกฤตที่องศาเสรี 7 ค่าวิกฤตแบบสองหางคือ

   $t_{.05}=2.365,\qquad t_{.01}=3.499,\qquad t_{.001}=5.408$

   เนื่องจาก $3.771$ มากกว่า $2.365$ และ $3.499$ แต่ไม่เกิน $5.408$ จึง ปฏิเสธสมมติฐานว่างที่ระดับ .05 และ .01 แต่ไม่ปฏิเสธที่ระดับ .001 ค่า $p$ สองหางที่แน่นอนคือ $0.0070$ ซึ่งอยู่ระหว่าง $.01$ กับ $.001$ พอดีตามที่การเปรียบเทียบนั้นทำนายไว้

6. 6

   รายงานขนาดอิทธิพล ซึ่งนัยสำคัญเพียงอย่างเดียวบอกไม่ได้ สำหรับการทดสอบกลุ่มเดียว Cohen's $d$ วัดระยะห่างในหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

   $d=\frac{\bar X-\mu_0}{s}=\frac{6-2}{3}=1.33$

   ตามเกณฑ์ที่ใช้กันทั่วไป ($0.2$ เล็ก $0.5$ ปานกลาง $0.8$ ใหญ่) นี่ถือเป็นอิทธิพลขนาดใหญ่ สังเกตว่า $d$ ใช้ $s$ ไม่ใช่ $SE$ ถ้าหารด้วย $1.0607$ แทนที่จะเป็น $3$ ก็จะได้ค่า $t$ กลับมาเฉย ๆ