สามกลุ่ม กลุ่มละเจ็ดคน ให้ผลรวม X = 36, 17 และ 13 กับผลรวม X^2 = 200, 59 และ 35 (รวมทั้งหมด ผลรวม X = 66, ผลรวม X^2 = 294, N = 21) จงทำ ANOVA ทางเดียว และรายงานขนาดอิทธิพลอีตากำลังสอง

Step-by-step solution

1. 1

   คำนวณพจน์ปรับแก้เพียงครั้งเดียวแล้วใช้ซ้ำ ผลรวมกำลังสองทุกตัวใน ANOVA ทางเดียวสร้างขึ้นจากพจน์ผลรวมใหญ่ตัวเดียวกันนี้

   $\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=\frac{66^{2}}{21}=\frac{4356}{21}=207.4286$

   การคำนวณครั้งเดียวแล้วเก็บทศนิยมไว้เยอะ ๆ ป้องกันความคลาดเคลื่อนสะสมจากการปัด ซึ่งเป็นเหตุให้ $SS_{\text{within}}$ ในงานของนักเรียนออกมาติดลบ

2. 2

   ความแปรผันรวม

   $SS_{\text{total}}=\sum X^{2}_{\text{tot}}-\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=294-207.4286=86.5714$

3. 3

   ความแปรผันที่อธิบายได้ด้วยการแบ่งกลุ่ม แทนคะแนนแต่ละตัวด้วยค่าเฉลี่ยของกลุ่มมัน ซึ่งในรูปค่าสถิติสรุปหมายถึงการยกกำลังสองผลรวมของแต่ละกลุ่มแล้วหารด้วย $n$ ของกลุ่มนั้น

   $SS_{\text{between}}=\sum\frac{\left(\sum X_j\right)^{2}}{n_j}-\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=\frac{36^{2}+17^{2}+13^{2}}{7}-207.4286$

   $=\frac{1296+289+169}{7}-207.4286=250.5714-207.4286=43.1429$

4. 4

   ขนาดอิทธิพล: สัดส่วนความแปรปรวนที่การแบ่งกลุ่มอธิบายได้

   $\eta^{2}=\frac{SS_{\text{between}}}{SS_{\text{total}}}=\frac{43.1429}{86.5714}=0.4983\approx0.50$

   ในรูปเศษส่วนที่แน่นอนคือ $\frac{302/7}{606/7}=\frac{151}{303}$ เมื่อเทียบกับเกณฑ์ที่ใช้กันทั่วไป ($0.01$ เล็ก $0.06$ ปานกลาง $0.14$ ใหญ่) ค่า $\eta^{2}$ ราว $0.50$ ถือเป็นอิทธิพลที่ใหญ่มาก ครึ่งหนึ่งของความแปรผันในคะแนนสัมพันธ์กับว่าผู้เข้าร่วมอยู่กลุ่มใด

5. 5

   ทำตาราง ANOVA ให้ครบเพื่อยืนยันว่าผลมีนัยสำคัญ ความแปรผันที่เหลืออยู่คือ

   $SS_{\text{within}}=86.5714-43.1429=43.4286,\qquad df_{\text{between}}=2,\quad df_{\text{within}}=18$

   $MS_{\text{between}}=\frac{43.1429}{2}=21.571,\qquad MS_{\text{within}}=\frac{43.4286}{18}=2.413$

   $F=\frac{21.571}{2.413}=8.94$

6. 6

   เทียบ $F$ กับค่าวิกฤต ที่ $df=(2,18)$ ได้ $F_{.05}=3.55$ และ $F_{.01}=6.01$ เนื่องจาก $8.94$ มากกว่าทั้งสองค่า (ค่า $p$ ที่แน่นอนคือ $0.002$) จึงปฏิเสธสมมติฐานว่างที่ว่าทั้งสามกลุ่มมาจากประชากรเดียวกัน ณ ระดับ $.01$ ซึ่งสอดคล้องกับ $\eta^{2}$ ที่ใหญ่มาก ส่วนค่าเฉลี่ยรายกลุ่มคือ $5.14$, $2.43$ และ $1.86$ แสดงให้เห็นว่าความแตกต่างอยู่ตรงไหน