ตัวอย่างที่ดิน 36 แปลง มีค่าเฉลี่ย 48.00 เอเคอร์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 46.44 ค่าต่ำสุด 7 Q1 เท่ากับ 18.02 มัธยฐาน 32.50 Q3 เท่ากับ 57.48 และค่าสูงสุด 248 จงพิจารณาว่าการแจกแจงสมมาตรหรือเบ้ และใช้กฎ 1.5 เท่าของ IQR ตรวจหาค่านอกเกณฑ์

Step-by-step solution

1. 1

   (ก) เปรียบเทียบค่าเฉลี่ยกับมัธยฐาน ในการแจกแจงที่สมมาตร ค่าทั้งสองจะเกือบทับกัน แต่ในที่นี้

   $\text{ค่าเฉลี่ย}-\text{มัธยฐาน}=48.00-32.50=15.50$

   ซึ่งถือว่ามากเมื่อเทียบกับพิสัยควอร์ไทล์ ค่าเฉลี่ยถูกดึงให้ สูงกว่า มัธยฐาน อันเป็นลายเซ็นของการแจกแจงเบ้ขวา (เบ้ทางบวก)

2. 2

   (ก) ยืนยันด้วยระยะไปยังค่าสุดขั้ว ค่าสูงสุดอยู่เหนือมัธยฐาน $248-32.50=215.5$ ขณะที่ค่าต่ำสุดอยู่ใต้มัธยฐานเพียง $32.50-7=25.5$ เป็นหางขวาที่ยาวเทียบกับหางซ้ายที่สั้น สังเกตด้วยว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $46.44$ เกือบเท่ากับค่าเฉลี่ย ซึ่งเป็นอีกลักษณะเด่นของข้อมูลที่เบ้และเป็นค่าไม่ติดลบ

3. 3

   (ข) คำนวณพิสัยควอร์ไทล์ IQR วัดการกระจายของข้อมูลครึ่งกลาง และต่างจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตรงที่ตัวมันเองไม่ถูกพองขึ้นด้วยค่าสุดขั้วที่เรากำลังตรวจอยู่

   $IQR=Q_3-Q_1=57.48-18.02=39.46$

4. 4

   (ข) สร้างรั้วทั้งสองข้าง กฎ $1.5\times IQR$ วางเส้นแบ่งไว้ห่างจากควอร์ไทล์ออกไปหนึ่งเท่าครึ่งของพิสัยควอร์ไทล์

   $1.5\times IQR=1.5\times39.46=59.19$

   $\text{รั้วล่าง}=Q_1-59.19=18.02-59.19=-41.17$
   $\text{รั้วบน}=Q_3+59.19=57.48+59.19=116.67$

   การที่รั้วล่างติดลบเป็นเรื่องปกติสำหรับปริมาณที่ติดลบไม่ได้ มันเพียงบอกว่าไม่มีค่าน้อยค่าใดเข้าข่ายเป็นค่านอกเกณฑ์ได้เลย

5. 5

   (ข) ทดสอบค่าสุดขั้วกับรั้ว ค่าต่ำสุด $7$ อยู่ในรั้วล่าง $-41.17$ อย่างสบาย จึงไม่มีค่านอกเกณฑ์ด้านต่ำ ส่วนค่าสูงสุด $248$ เกินรั้วบน $116.67$ ไปไกลมาก คืออยู่เหนือ $Q_3$ ขึ้นไปกว่า $4.8$ เท่าของพิสัยควอร์ไทล์ ดังนั้น มีค่านอกเกณฑ์ด้านสูงอย่างน้อยหนึ่งค่า

6. 6

   (ค) ระบุสิ่งที่ค่าสถิติสรุปบอกเราไม่ได้ ค่าสรุปห้าตัวกำหนดตัวกล่องได้ ($Q_1$ มัธยฐาน $Q_3$) และบอกว่า $248$ ต้องถูกพล็อตเป็นจุดค่านอกเกณฑ์เดี่ยว ๆ แต่สิ่งที่มัน ไม่ บอกคือหนวดด้านบนไปสิ้นสุดที่ใด เพราะหนวดต้องจบที่ค่าสังเกตที่ใหญ่ที่สุดซึ่งยังต่ำกว่า $116.67$ และค่านั้นไม่มีอยู่ในตาราง เราจึงต้องใช้ข้อมูลรายค่า (หรืออย่างน้อยค่าที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่ใช่ค่านอกเกณฑ์) และคำถามเดียวกันนี้ก็ใช้กับค่าอื่น ๆ ที่อาจอยู่ระหว่าง $116.67$ กับ $248$ ด้วย