เครื่องคำนวณค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม

ค่าเฉลี่ย, มัธยฐาน และ ฐานนิยม คือสามมาตรวัดค่ากลางหลักในสถิติ แต่ละค่าอธิบายศูนย์กลางของชุดข้อมูลในวิธีที่ต่างกัน

ค่าเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต)

ค่าเฉลี่ย คือผลบวกของค่าทั้งหมดหารด้วยจำนวนค่า:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

ค่าเฉลี่ยไวต่อค่าผิดปกติ — ค่าที่ใหญ่หรือเล็กมากเพียงค่าเดียวสามารถเลื่อนค่าเฉลี่ยอย่างมีนัยสำคัญ

มัธยฐาน

มัธยฐาน คือค่าตรงกลางเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก สำหรับข้อมูล $n$ จุด:

• ถ้า $n$ เป็นเลขคี่: มัธยฐาน $= x_{\frac{n+1}{2}}$
• ถ้า $n$ เป็นเลขคู่: มัธยฐาน $= \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

มัธยฐานทนต่อค่าผิดปกติและเหมาะกับการแจกแจงที่เบ้

ฐานนิยม

ฐานนิยม คือค่าที่ปรากฏบ่อยที่สุด ชุดข้อมูลอาจเป็น:

• ฐานนิยมเดียว — มีฐานนิยมหนึ่งค่า
• สองฐานนิยม — มีฐานนิยมสองค่า
• หลายฐานนิยม — มีฐานนิยมมากกว่าสองค่า
• ไม่มีฐานนิยม — ทุกค่าปรากฏบ่อยเท่ากัน

มาตรวัดทั้งสามนี้รวมกันให้ภาพที่ครอบคลุมว่า "ศูนย์กลาง" ของชุดข้อมูลอยู่ที่ใด

การคำนวณค่าเฉลี่ย

1. บวก ค่าข้อมูลทั้งหมดเข้าด้วยกัน: $\sum x_i$
2. หาร ด้วยจำนวนทั้งหมด $n$
3. ผลลัพธ์: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก: เมื่อค่ามีน้ำหนักต่างกัน:

$\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$

การคำนวณมัธยฐาน

1. เรียง ข้อมูลจากน้อยไปมาก
2. นับ จำนวนค่า $n$
3. ถ้า $n$ เป็น เลขคี่: มัธยฐานคือค่าที่ตำแหน่ง $\frac{n+1}{2}$
4. ถ้า $n$ เป็น เลขคู่: มัธยฐานคือค่าเฉลี่ยของค่าที่ตำแหน่ง $\frac{n}{2}$ และ $\frac{n}{2}+1$

การคำนวณฐานนิยม

1. นับ ความถี่ของแต่ละค่า
2. ระบุ ค่าที่มีความถี่สูงสุด
3. ถ้าทุกค่าปรากฏครั้งเดียว จะ ไม่มีฐานนิยม

ตารางเปรียบเทียบ

เมื่อใดควรใช้แต่ละมาตรวัด

• ค่าเฉลี่ย: ใช้สำหรับข้อมูลที่แจกแจงปกติโดยไม่มีค่าผิดปกติสุดขั้ว (เช่น คะแนนสอบในชั้นเรียนใหญ่)
• มัธยฐาน: ใช้สำหรับข้อมูลเบ้หรือเมื่อมีค่าผิดปกติ (เช่น รายได้ครัวเรือน)
• ฐานนิยม: ใช้สำหรับข้อมูลเชิงประเภทหรือหาค่าที่พบบ่อยที่สุด (เช่น ขนาดรองเท้าที่นิยมที่สุด)

ความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยม

สำหรับการแจกแจงที่สมมาตรสมบูรณ์: ค่าเฉลี่ย $=$ มัธยฐาน $=$ ฐานนิยม

สำหรับการแจกแจงเบ้ขวา: ค่าเฉลี่ย $>$ มัธยฐาน $>$ ฐานนิยม

สำหรับการแจกแจงเบ้ซ้าย: ค่าเฉลี่ย $<$ มัธยฐาน $<$ ฐานนิยม

• ลืมเรียงข้อมูลก่อนหามัธยฐาน — มัธยฐานต้องการข้อมูลที่เรียงแล้ว การใช้ข้อมูลที่ไม่เรียงให้ผลผิด
• สับสนค่าเฉลี่ยกับมัธยฐานสำหรับข้อมูลเบ้ — ค่าเฉลี่ยถูกดึงไปทางค่าผิดปกติ ดังนั้นสำหรับการแจกแจงเบ้ มัธยฐานเป็นมาตรวัดศูนย์กลางที่ดีกว่า
• อ้างว่า "ไม่มีฐานนิยม" เมื่อมีความถี่เท่ากัน — ถ้าหลายค่ามีความถี่สูงสุดร่วมกัน ทั้งหมดเป็นฐานนิยม (สองฐานนิยมหรือหลายฐานนิยม)
• หารด้วยจำนวนที่ผิด — ตรวจให้แน่ใจว่าคุณหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด ไม่ใช่จำนวนค่าที่ต่างกัน
• รวมค่าผิดปกติโดยไม่พิจารณา — ตรวจหาค่าสุดขั้วที่อาจทำให้ค่าเฉลี่ยทำให้เข้าใจผิดเสมอ