ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X มีความหนาแน่น f(x) = x เมื่อ 0 < x <= 1, f(x) = 2 - x เมื่อ 1 <= x < 2 และเป็น 0 ในกรณีอื่น จงหา E(X) และ Var(X)

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจก่อนว่า $f$ เป็นความหนาแน่นจริงหรือไม่ ฟังก์ชันความหนาแน่นที่ถูกต้องต้องไม่เป็นลบ และอินทิเกรตได้ $1$

   $\int_0^1x\,dx+\int_1^2(2-x)\,dx=\frac12+\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac12+\left(2-\frac32\right)=\frac12+\frac12=1$

   ในเชิงเรขาคณิตนี่คือสามเหลี่ยมที่มีฐาน $2$ และสูง $1$ พื้นที่ $\frac12\cdot2\cdot1=1$ การยืนยันข้อนี้ก่อนเป็นประกันราคาถูกที่กันการลอกโจทย์ผิดไปชิ้นหนึ่ง

2. 2

   คำนวณ $E(X)$ ทีละชิ้น เนื่องจากความหนาแน่นนิยามเป็นสองชิ้น ปริพันธ์ของค่าคาดหมายจึงแยกที่ $x=1$

   $E(X)=\int_0^1x\cdot x\,dx+\int_1^2x(2-x)\,dx=\int_0^1x^{2}dx+\int_1^2\left(2x-x^{2}\right)dx$

   $=\frac13+\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_1^2=\frac13+\left(\frac43-\frac23\right)=\frac13+\frac23=1$

3. 3

   สังเกตทางลัดที่ใช้ได้ตั้งแต่แรก สามเหลี่ยมนี้สมมาตรรอบ $x=1$ เพราะ $f(1-u)=1-u$ และ $f(1+u)=1-u$ สำหรับ $0\le u\le1$ สำหรับความหนาแน่นใด ๆ ที่สมมาตรรอบจุดหนึ่ง ค่าเฉลี่ย คือ จุดนั้น ดังนั้น $E(X)=1$ โดยไม่ต้องอินทิเกรตเลย ปริพันธ์ข้างบนจึงเป็นเพียงการตรวจสอบ

4. 4

   คำนวณ $E(X^{2})$ ซึ่งสมมาตรช่วยไม่ได้

   $E(X^{2})=\int_0^1x^{3}dx+\int_1^2x^{2}(2-x)\,dx=\frac14+\left[\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_1^2$

   แทนค่าในวงเล็บที่ $2$ ได้ $\frac{16}{3}-4=\frac43$ ที่ $1$ ได้ $\frac23-\frac14=\frac{5}{12}$ ปริพันธ์ก้อนที่สองจึงเป็น $\frac43-\frac{5}{12}=\frac{11}{12}$ และ

   $E(X^{2})=\frac14+\frac{11}{12}=\frac{3}{12}+\frac{11}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$

5. 5

   ใช้สูตรลัดสำหรับความแปรปรวน

   $D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}=\frac76-1^{2}=\frac{7}{6}-\frac{6}{6}=\frac16\approx0.1667$

   ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ $\sqrt{1/6}=0.408$

6. 6

   ตรวจว่าคำตอบสมเหตุสมผล ความน่าจะเป็นทั้งหมดอยู่ใน $(0,2)$ ซึ่งเป็นช่วงยาว $2$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจึงต้องน้อยกว่า $1$ อยู่มาก และ $0.408$ ก็สบาย ๆ ทั้งยังน้อยกว่า $0.577$ ของการแจกแจง เอกรูป บน $(0,2)$ ซึ่งถูกต้องพอดี เพราะความหนาแน่นรูปสามเหลี่ยมกระจุกมวลไว้ใกล้จุดกึ่งกลาง แทนที่จะเกลี่ยเท่ากันทั้งช่วง