เครื่องคำนวณช่วงความเชื่อมั่น

ช่วงความเชื่อมั่น (CI) คือพิสัยของค่าที่เป็นไปได้สำหรับพารามิเตอร์ประชากรที่ไม่ทราบ สร้างจากข้อมูลตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่น 95% หมายความว่า: ถ้าคุณทำกระบวนการสุ่มตัวอย่างซ้ำหลายครั้ง ประมาณ 95% ของช่วงที่สร้างขึ้นจะมีพารามิเตอร์จริงอยู่ภายใน

สำคัญ: 95% หมายถึงกระบวนการ ไม่ใช่ช่วงที่คำนวณแล้วช่วงใดช่วงหนึ่ง เมื่อช่วงถูกสร้างจากข้อมูลแล้ว มันอาจมีหรือไม่มีพารามิเตอร์จริง — แต่เราไม่รู้ว่าอันใด

โครงสร้างหลัก: ทุกช่วงความเชื่อมั่นมีรูป

$\text{estimate} \pm \text{margin of error}$

ค่าประมาณคือสถิติตัวอย่าง ($\bar{x}$ หรือ $\hat{p}$) ขอบเขตความคลาดเคลื่อนคือค่าวิกฤตคูณความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าประมาณ

ช่วงความเชื่อมั่นปรากฏใน:

• การหยั่งเสียงเลือกตั้ง ('สนับสนุน 52% $\pm 3\%$ ขอบเขตความคลาดเคลื่อน')
• การศึกษาทางการแพทย์ (CI ของขนาดผล)
• การควบคุมคุณภาพ (อัตราข้อบกพร่องเฉลี่ย)
• ทุกครั้งที่คุณต้องการวัดความไม่แน่นอนของค่าประมาณ ไม่ใช่แค่รายงานค่าจุด

CI สำหรับค่าเฉลี่ยประชากร (ช่วง Z)

เมื่อส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร $\sigma$ ทราบ และการแจกแจงการสุ่มตัวอย่างประมาณเป็นปกติ ($n$ ใหญ่หรือประชากรปกติ):

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

โดยที่ $z^*$ คือค่าวิกฤตสำหรับระดับความเชื่อมั่นที่เลือก

CI สำหรับค่าเฉลี่ยประชากร (ช่วง T)

เมื่อ $\sigma$ ไม่ทราบ (คุณมีเพียง $s$ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง) — พบบ่อยกว่ามากในทางปฏิบัติ:

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

ค่าวิกฤต $t^*$ มาจาก การแจกแจง t ที่มีองศาเสรี $n - 1$ สำหรับ $n$ ใหญ่ ($\geq 30$) $t^* \approx z^*$ และทั้งสองช่วงคล้ายกันมาก

CI สำหรับสัดส่วนประชากร

สำหรับสัดส่วนตัวอย่าง $\hat{p} = x/n$ (เมื่อ $x$ คือจำนวนความสำเร็จ):

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

ใช้ได้เมื่อ $n\hat{p} \geq 10$ และ $n(1 - \hat{p}) \geq 10$ (เงื่อนไขความสำเร็จ-ล้มเหลว)

ค่าวิกฤต

ขอบเขตความคลาดเคลื่อน

$\text{ME} = (\text{ค่าวิกฤต}) \times (\text{ความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน})$

การเพิ่มขนาดตัวอย่าง $n$ ลดความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (และดังนั้นขอบเขตความคลาดเคลื่อน) ด้วยตัวประกอบ $\sqrt{n}$ การเพิ่ม $n$ สี่เท่าลดขอบเขตความคลาดเคลื่อนลงครึ่งหนึ่ง

การเลือกระดับความเชื่อมั่น

• ความเชื่อมั่นสูงกว่า = ช่วงกว้างกว่า CI 99% กว้างกว่า CI 95% ซึ่งกว้างกว่า CI 90%
• 95% เป็นค่าเริ่มต้นในบริบทวิชาการและวิชาชีพส่วนใหญ่
• 99% เมื่อเดิมพันสูงขึ้น (การแพทย์ ความปลอดภัย); 90% เมื่อค่าประมาณจุดที่กระชับสำคัญกว่าการครอบคลุม

• ตีความ 95% ผิด: 'มีความน่าจะเป็น 95% ที่ค่าเฉลี่ยจริงอยู่ในช่วงนี้' ผิด (แบบความถี่นิยม) ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับกระบวนการ: 95% ของช่วงที่สร้างคล้ายกันมีพารามิเตอร์จริงอยู่ภายใน
• ใช้ z เมื่อ t เหมาะสม: เมื่อ $\sigma$ ไม่ทราบ ใช้ $t^*$ การใช้ $z^*$ ทำให้ความไม่แน่นอนต่ำกว่าจริง โดยเฉพาะสำหรับ $n$ เล็ก
• ลืม $\sqrt{n}$ ในความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน: $\sigma/\sqrt{n}$ ไม่ใช่ $\sigma/n$
• ทิศทางค่าวิกฤตผิด: $z^* = 1.96$ สำหรับ 95% (สองหาง) ไม่ใช่ $z = 1.645$ ที่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 ค่าวิกฤตสองหางตัด $\alpha/2$ ในแต่ละหาง
• ข้ามเงื่อนไขความสำเร็จ-ล้มเหลวสำหรับสัดส่วน: ถ้า $n\hat{p}$ หรือ $n(1-\hat{p}) < 10$ การประมาณแบบปกติล้มเหลว — ใช้ช่วงแบบแม่นตรง (คลอปเปอร์-เพียร์สัน) หรืออิงคะแนน
• สับสน CI กับช่วงพยากรณ์: CI 95% ประมาณ ค่าเฉลี่ย ด้วยการครอบคลุม 95% ช่วงพยากรณ์ ประมาณการสังเกตในอนาคตหนึ่งค่า — กว้างกว่ามาก