AI Math
เปิดแอป

เครื่องคำนวณปริพันธ์สามชั้น

คำนวณปริพันธ์สามชั้นในพิกัดสี่เหลี่ยม พิกัดทรงกระบอก หรือพิกัดทรงกลมพร้อมเฉลยทีละขั้นตอนด้วยพลัง AI

ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพหรือ PDF

∑Math Input
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

ปริพันธ์สามชั้นคืออะไร?

ปริพันธ์สามชั้น ขยายแนวคิดของปริพันธ์เดี่ยวและสองชั้นไปสามมิติ สำหรับฟังก์ชัน f(x,y,z)f(x, y, z) ที่นิยามบนบริเวณตัน E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

ให้การสะสมรวมของ ff บน EE ธาตุปริมาตรอนันต์น้อย dVdV กลายเป็น dx dy dzdx\,dy\,dz ในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่เขียนใหม่ได้ขึ้นอยู่กับเรขาคณิตของ EE

ความหมายทางกายภาพที่พบบ่อย:

  • ถ้า f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1 ปริพันธ์ให้ ปริมาตร ของ EE
  • ถ้า f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) เป็นความหนาแน่น มันให้ มวลรวม
  • โมเมนต์ จุดศูนย์กลางมวล และโมเมนต์ความเฉื่อยล้วนเป็นปริพันธ์สามชั้นของฟังก์ชันความหนาแน่นถ่วงน้ำหนัก

กุญแจสำคัญในการคำนวณปริพันธ์สามชั้นคือ การเลือกระบบพิกัดที่ถูกต้อง และ การตั้งขอบเขตอย่างถูกต้อง

วิธีตั้งและคำนวณปริพันธ์สามชั้น

ขั้นที่ 1: เลือกพิกัด

เรขาคณิตของบริเวณพิกัดที่ดีที่สุดธาตุปริมาตร
กล่อง / ทั่วไปสี่เหลี่ยม (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
สมมาตรทรงกระบอกทรงกระบอก (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
สมมาตรทรงกลมทรงกลม (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

ขั้นที่ 2: ตั้งขอบเขต

ฉายบริเวณลงบนระนาบพิกัดเพื่อหาลำดับการหาปริพันธ์ สำหรับบริเวณตันแบบ I ที่มีขอบเขตด้านบนด้วย z=g2(x,y)z = g_2(x,y) และด้านล่างด้วย z=g1(x,y)z = g_1(x,y):

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

ขั้นที่ 3: คำนวณแบบซ้ำ

หาปริพันธ์ในสุดก่อน โดยมองตัวแปรนอกเป็นค่าคงตัว จากนั้นดำเนินออกไปด้านนอก

พิกัดทรงกระบอก

ใช้การแทนค่า x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

ตัวประกอบ rr ที่เพิ่มมาจากดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียน

พิกัดทรงกลม

ใช้ x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

จาโคเบียน ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi เป็นสิ่งสำคัญ — การลืมมันเป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

  • ลืมจาโคเบียน: ทรงกระบอกได้ตัวประกอบ rr ทรงกลมได้ ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi การข้ามนี้ให้คำตอบผิดทุกครั้ง
  • ลำดับขอบเขตผิด: ขอบเขตในสุดอาจขึ้นอยู่กับตัวแปรนอก แต่ขอบเขตนอกสุดต้องเป็นค่าคงตัว การสลับนี้สร้างความไร้สาระ
  • เครื่องหมายผิดกับ sin⁡φ\sin\varphi: ในทรงกลม φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (ดังนั้น sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0) การใช้ φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] ผิด
  • ปนธรรมเนียม: บางตำราใช้ φ\varphi สำหรับมุมเชิงขั้ว (จากแกน z) บางตำราใช้สำหรับมุมแอซิมุท ให้สอดคล้องกับธรรมเนียมเดียว
  • ไม่วาดภาพบริเวณ: สำหรับบริเวณตันที่ไม่ง่าย การวาดภาพอย่างรวดเร็วช่วยให้พ้นจากขอบเขตที่เป็นไปไม่ได้

Examples

Step 1: ตั้งปริพันธ์ซ้ำ: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: หาปริพันธ์เทียบ zz: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: หาปริพันธ์เทียบ yy: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: หาปริพันธ์เทียบ xx: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: ในทรงกลม: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: ปริมาตร = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: ใน: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: กลาง: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: นอก: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: ผลคูณ: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: เปลี่ยนเป็นทรงกระบอก: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: ปริพันธ์ = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: ใน: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: กลาง: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: นอก: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

ใช้ทรงกระบอกเมื่อบริเวณมีสมมาตรการหมุนรอบแกน z แต่ไม่มีโครงสร้างเชิงรัศมีพิเศษ (ทรงกระบอก พาราโบลอยด์ กรวยเหนือ/ใต้จาน) ใช้ทรงกลมเมื่อบริเวณมีขอบเขตด้วยทรงกลม กรวยจากจุดกำเนิด หรือมีสมมาตรเชิงรัศมี 3 มิติเต็ม (ลูกบอล เปลือกทรงกลม)

จาโคเบียนคือดีเทอร์มิแนนต์ที่ปรับธาตุปริมาตรเมื่อเปลี่ยนพิกัด ในทรงกระบอกเท่ากับ r ในทรงกลมเท่ากับ ρ² sin φ หากไม่มีมัน ปริพันธ์จะวัดปริมาตรผิด

ดูที่บริเวณ: หาปริพันธ์ตัวแปรที่มีขอบเขตขึ้นกับตัวอื่น (ในสุด) ก่อน แล้วเคลื่อนออกไปด้านนอก ตัวแปรนอกสุดต้องมีขอบเขตเป็นค่าคงตัว ถ้าลำดับหนึ่งนำไปสู่ขอบเขตที่อัปลักษณ์ ให้สลับลำดับโดยใช้ภาพวาดของบริเวณ

ได้ ถ้าฟังก์ชันปริพันธ์เป็นลบได้ สำหรับการคำนวณปริมาตร ฟังก์ชันปริพันธ์เป็น 1 และคำตอบเป็นบวกเสมอ สำหรับปริมาณทางกายภาพอย่างฟลักซ์แบบมีเครื่องหมายหรือแรงสุทธิ ค่าลบเป็นไปได้และมีความหมาย

Related Solvers

เครื่องคำนวณปริพันธ์เครื่องคำนวณอนุพันธ์เครื่องคำนวณอนุกรม
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving