AI Math
เปิดแอป

เครื่องคำนวณปริพันธ์สองชั้น

คำนวณปริพันธ์สองชั้นบนบริเวณสี่เหลี่ยม บริเวณทั่วไป หรือบริเวณเชิงขั้วพร้อมเฉลยทีละขั้นตอนด้วยพลัง AI

ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพหรือ PDF

∑Math Input
double integral of x*y over [0,1]x[0,2]
double integral of x^2+y^2 over unit disk in polar
double integral of e^(x+y) over [0,1]x[0,1]
double integral of y dA over triangle with vertices (0,0),(1,0),(0,1)

ปริพันธ์สองชั้นคืออะไร?

ปริพันธ์สองชั้น คำนวณการสะสมของฟังก์ชัน f(x,y)f(x, y) บนบริเวณสองมิติ DD:

∬Df(x,y) dA\iint_D f(x,y)\,dA

โดยที่ dAdA คือธาตุพื้นที่อนันต์น้อย ในพิกัดคาร์ทีเซียน dA=dx dydA = dx\,dy; ในพิกัดเชิงขั้ว dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta

ความหมายทางกายภาพที่พบบ่อย:

  • f(x,y)=1f(x,y) = 1 ให้ พื้นที่ ของ DD
  • f(x,y)=h(x,y)f(x,y) = h(x,y) (ฟังก์ชันความสูง) ให้ ปริมาตร ใต้ผิว z=h(x,y)z = h(x,y) เหนือ DD
  • f=ρ(x,y)f = \rho(x,y) (ความหนาแน่นพื้นผิว) ให้ มวล ของแผ่นบาง

ทักษะสำคัญคือ: เลือกพิกัด ตั้งขอบเขต และคำนวณเป็นปริพันธ์เดี่ยวซ้ำโดยใช้ทฤษฎีบทของฟูบินี

วิธีคำนวณปริพันธ์สองชั้น

ทฤษฎีบทของฟูบินี

สำหรับ ff ต่อเนื่องบนรูปสี่เหลี่ยม D=[a,b]×[c,d]D = [a, b] \times [c, d]:

∬Df dA=∫ab∫cdf(x,y) dy dx=∫cd∫abf(x,y) dx dy\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy

ลำดับใดก็ได้ ดังนั้นเลือกลำดับที่หาปริพันธ์ง่ายกว่า

บริเวณแบบ I และแบบ II

แบบ I (yy มีขอบเขตด้วยเส้นโค้งของ xx):

D={(x,y):a≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x)}D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}

∬Df dA=∫ab∫g1(x)g2(x)f(x,y) dy dx\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx

แบบ II (xx มีขอบเขตด้วยเส้นโค้งของ yy):

D={(x,y):c≤y≤d, h1(y)≤x≤h2(y)}D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}

∬Df dA=∫cd∫h1(y)h2(y)f(x,y) dx dy\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy

พิกัดเชิงขั้ว

สำหรับบริเวณที่มีสมมาตรเชิงวงกลม ใช้ x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta:

∬Df(x,y) dA=∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr dθ\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta

ตัวประกอบ rr จากจาโคเบียนเป็นสิ่งจำเป็น — การลืมมันเป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด

เมื่อใดควรสลับลำดับการหาปริพันธ์

ถ้าปริพันธ์ในกลายเป็นแก้ไม่ได้ (เช่น ∫ex2 dx\int e^{x^2}\,dx ไม่มีปฏิยานุพันธ์มูลฐาน) การสลับลำดับการหาปริพันธ์มักทำให้ปัญหาแก้ได้ ให้วาดภาพบริเวณก่อนเพื่อหาขอบเขตที่สมมูลในลำดับอื่น

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

  • ลำดับขอบเขตผิด: ขอบเขตในอาจขึ้นอยู่กับตัวแปรนอก แต่ขอบเขตนอกต้องเป็นค่าคงตัว สลับกัน = คำตอบผิด
  • ลืมจาโคเบียนเชิงขั้ว: dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta ไม่ใช่ dr dθdr\,d\theta
  • ไม่วาดภาพบริเวณ: สำหรับ DD ที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยม การวาดภาพทำให้เห็นแบบ I กับแบบ II ได้ชัดเจน
  • พยายามหาปริพันธ์ฟังก์ชันในที่เป็นไปไม่ได้: ถ้าเจอ ∫ex2 dx\int e^{x^2}\,dx หรือฟังก์ชันปริพันธ์ที่ไม่ใช่มูลฐานคล้าย ๆ กัน ให้สลับลำดับก่อนยอมแพ้
  • เครื่องหมายผิดกับฟังก์ชันปริพันธ์ที่เป็นลบ: ถ้า ff เปลี่ยนเครื่องหมายบน DD ปริพันธ์สองชั้นอาจเป็นศูนย์ — นี่ถูกต้อง ไม่ใช่ข้อผิดพลาดที่ต้อง 'แก้'

Examples

Step 1: ตั้ง: ∫01∫01(x2+y2) dy dx\int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2)\, dy\, dx
Step 2: หาปริพันธ์เทียบ yy: ∫01(x2+y2) dy=x2⋅1+13=x2+13\int_0^1 (x^2 + y^2)\,dy = x^2 \cdot 1 + \frac{1}{3} = x^2 + \frac{1}{3}
Step 3: หาปริพันธ์เทียบ xx: ∫01(x2+13) dx=13+13=23\int_0^1 (x^2 + \frac{1}{3})\,dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
Answer: 23\dfrac{2}{3}

Step 1: เปลี่ยนเป็นเชิงขั้ว: x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2, dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta
Step 2: ขอบเขต: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 3: ปริพันธ์กลายเป็น: ∫02π∫01r2⋅r dr dθ=∫02π∫01r3 dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r\, dr\, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3\, dr\, d\theta
Step 4: ใน: ∫01r3 dr=14\int_0^1 r^3\,dr = \frac{1}{4}
Step 5: นอก: ∫02π14 dθ=π2\int_0^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{\pi}{2}
Answer: π2\dfrac{\pi}{2}

Step 1: บริเวณ: 0≤x≤10 \leq x \leq 1 และ 0≤y≤1−x0 \leq y \leq 1 - x (แบบ I)
Step 2: ตั้ง: ∫01∫01−xy dy dx\int_0^1 \int_0^{1-x} y\,dy\,dx
Step 3: ใน: ∫01−xy dy=(1−x)22\int_0^{1-x} y\,dy = \frac{(1-x)^2}{2}
Step 4: นอก: ∫01(1−x)22 dx=12⋅(1−x)3−3∣01=16\int_0^1 \frac{(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-x)^3}{-3}\Big|_0^1 = \frac{1}{6}
Answer: 16\dfrac{1}{6}

Frequently Asked Questions

ใช้พิกัดเชิงขั้วเมื่อบริเวณหรือฟังก์ชันปริพันธ์มีสมมาตรเชิงวงกลม — จาน วงแหวน เซกเตอร์ หรือฟังก์ชันของ x²+y² จาโคเบียน r มักทำให้ฟังก์ชันปริพันธ์ง่ายขึ้นด้วยการตัดตัวประกอบ

ทฤษฎีบทของฟูบินีกล่าวว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องบนรูปสี่เหลี่ยม (หรือบริเวณใด ๆ ที่ปริพันธ์ลู่เข้าสัมบูรณ์) ปริพันธ์สองชั้นเท่ากับปริพันธ์ซ้ำ และลำดับการหาปริพันธ์สลับได้โดยไม่เปลี่ยนผลลัพธ์

วาดภาพบริเวณ D หาคำอธิบายที่สมมูลเป็นแบบ I และแบบ II — นั่นคือ แสดงบริเวณเดียวกันโดยให้ x มีขอบเขตด้วยเส้นโค้งของ y แทนที่จะให้ y มีขอบเขตด้วยเส้นโค้งของ x เขียนปริพันธ์ใหม่ด้วยขอบเขตใหม่

ตัวประกอบ r มาจากดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนของการแปลงจาก (x,y) เป็น (r,θ) ในเชิงเรขาคณิต 'ลิ่ม' เชิงขั้วบาง ๆ มีพื้นที่ r·dr·dθ ไม่ใช่แค่ dr·dθ

Related Solvers

เครื่องคำนวณปริพันธ์เครื่องคำนวณอนุพันธ์เครื่องคำนวณลิมิต
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving