AI Math
เปิดแอป

เครื่องคำนวณอนุพันธ์ย่อย

คำนวณอนุพันธ์ย่อย อนุพันธ์ย่อยผสม และเกรเดียนต์พร้อมเฉลยทีละขั้นตอนด้วยพลัง AI

ลากแล้ววางหรือ คลิก เพื่อเพิ่มรูปภาพหรือ PDF

∑Math Input
partial of x^2*y + sin(y) w.r.t. x
second partial of e^(xy) w.r.t. x then y
gradient of f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2
partial of ln(x^2+y^2) with respect to x

อนุพันธ์ย่อยคืออะไร?

อนุพันธ์ย่อย วัดว่าฟังก์ชันหลายตัวแปรเปลี่ยนแปลงอย่างไรเทียบกับตัวแปรหนึ่งในขณะที่ตรึงตัวอื่นไว้ สำหรับ f(x,y)f(x, y):

∂f∂x=lim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}

สัญกรณ์ ∂\partial (ดีโค้ง) แยกอนุพันธ์ย่อยออกจากอนุพันธ์สามัญ ddx\frac{d}{dx} สัญกรณ์ที่เทียบเท่าได้แก่ fxf_x, ∂xf\partial_x f, DxfD_x f

ความหมายเชิงเรขาคณิต: ∂f∂x(a,b)\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) คือความชันของผิว z=f(x,y)z = f(x,y) ที่ (a,b)(a,b) ในทิศทาง xx — เส้นสัมผัสอยู่ในระนาบ y=by = b

ทำไมเรื่องนี้จึงสำคัญ: เกรเดียนต์ดีเซนต์ การหาค่าเหมาะที่สุด การแพร่ของความผิดพลาด และแคลคูลัสเวกเตอร์ส่วนใหญ่อาศัยอนุพันธ์ย่อย เกรเดียนต์ ∇f=(fx,fy,fz)\nabla f = (f_x, f_y, f_z) ชี้ไปในทิศทางที่ขึ้นชันที่สุด

วิธีคำนวณอนุพันธ์ย่อย

กฎที่ 1: มองตัวแปรอื่นเป็นค่าคงตัว

ในการหา ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x} ให้มอง y,z,…y, z, \ldots เป็น ค่าคงตัว และหาอนุพันธ์ ff เป็นฟังก์ชันตัวแปรเดียวของ xx

ตัวอย่าง: f(x,y)=x2y+3yf(x, y) = x^2 y + 3y

  • ∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy (3y3y หายไปเพราะไม่มี xx)
  • ∂f∂y=x2+3\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3 (x2x^2 ทำหน้าที่เป็นสัมประสิทธิ์)

กฎที่ 2: กฎลูกโซ่และกฎผลคูณยังใช้ได้

สำหรับ f(x,y)=sin⁡(xy)f(x, y) = \sin(xy):

∂f∂x=cos⁡(xy)⋅y\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y

yy ภายในวงเล็บถูกมองเป็นสัมประสิทธิ์ค่าคงตัวเมื่อหาอนุพันธ์ xyxy เทียบกับ xx

อนุพันธ์ย่อยอันดับสูง

fxx=∂2f∂x2,fxy=∂2f∂y∂xf_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

ทฤษฎีบทของแคลโรต์ (อนุพันธ์ย่อยผสม): ถ้า ff มีอนุพันธ์ย่อยอันดับสองที่ต่อเนื่อง แล้ว fxy=fyxf_{xy} = f_{yx} ลำดับการหาอนุพันธ์ไม่มีผล

เกรเดียนต์และอนุพันธ์ระบุทิศทาง

เกรเดียนต์ คือเวกเตอร์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งทั้งหมด:

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)

อนุพันธ์ระบุทิศทาง ในทิศทาง u\mathbf{u} (เวกเตอร์หนึ่งหน่วย) คือ:

Duf=∇f⋅uD_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}

มีค่าสูงสุดเมื่อ u\mathbf{u} ชี้ไปตาม ∇f\nabla f — นี่คือทิศทางที่ขึ้นชันที่สุด

กฎลูกโซ่ (หลายตัวแปร)

ถ้า z=f(x,y)z = f(x, y) และ x=x(t),y=y(t)x = x(t), y = y(t):

dzdt=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยและควรหลีกเลี่ยง

  • หาอนุพันธ์ผิดตัวแปร: ระบุเสมอว่าตัวแปรใด 'ทำงาน' และตัวใดตรึงค่า การขีดเส้นใต้ตัวแปรที่ทำงานในกระดาษทดช่วยได้
  • ลืมกฎลูกโซ่: ∂∂xsin⁡(xy)=ycos⁡(xy)\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy) ไม่ใช่แค่ cos⁡(xy)\cos(xy)
  • สับสนสัญกรณ์: fxyf_{xy} หมายถึงหาอนุพันธ์เทียบ xx ก่อน แล้ว yy (บางตำราสลับกัน — ตรวจสอบธรรมเนียม)
  • ทิศทางเกรเดียนต์ผิด: ∇f\nabla f ชี้ไปในทิศทางที่ ขึ้นชันที่สุด ไม่ใช่ทิศการเคลื่อนที่ ในการหาค่าต่ำสุด ให้เคลื่อนตรงข้ามกับ ∇f\nabla f
  • ปนอนุพันธ์ย่อยกับอนุพันธ์รวม: เมื่อ xx และ yy ขึ้นอยู่กับ tt ทั้งคู่ ให้ใช้กฎลูกโซ่ — ไม่ใช่ ∂f/∂t\partial f/\partial t ซึ่งเป็นศูนย์ถ้า ff ไม่มี tt อย่างชัดเจน

Examples

Step 1: สำหรับ ∂f/∂x\partial f/\partial x: มอง yy เป็นค่าคงตัว ∂f/∂x=2xy+0=2xy\partial f/\partial x = 2xy + 0 = 2xy
Step 2: สำหรับ ∂f/∂y\partial f/\partial y: มอง xx เป็นค่าคงตัว ∂f/∂y=x2+3y2\partial f/\partial y = x^2 + 3y^2
Answer: fx=2xyf_x = 2xy, fy=x2+3y2f_y = x^2 + 3y^2

Step 1: อนุพันธ์อันดับหนึ่ง: fx=yexyf_x = y e^{xy}, fy=xexyf_y = x e^{xy}
Step 2: fxx=∂/∂x(yexy)=y⋅y⋅exy=y2exyf_{xx} = \partial/\partial x (y e^{xy}) = y \cdot y \cdot e^{xy} = y^2 e^{xy}
Step 3: fyy=∂/∂y(xexy)=x⋅x⋅exy=x2exyf_{yy} = \partial/\partial y (x e^{xy}) = x \cdot x \cdot e^{xy} = x^2 e^{xy}
Step 4: fxy=∂/∂y(yexy)=exy+y⋅x⋅exy=(1+xy)exyf_{xy} = \partial/\partial y (y e^{xy}) = e^{xy} + y \cdot x \cdot e^{xy} = (1 + xy)e^{xy}
Step 5: ตรวจสอบแคลโรต์: fyx=∂/∂x(xexy)=exy+x⋅y⋅exy=(1+xy)exyf_{yx} = \partial/\partial x (x e^{xy}) = e^{xy} + x \cdot y \cdot e^{xy} = (1 + xy)e^{xy} ✓
Answer: fxx=y2exyf_{xx} = y^2 e^{xy}, fyy=x2exyf_{yy} = x^2 e^{xy}, fxy=fyx=(1+xy)exyf_{xy} = f_{yx} = (1+xy)e^{xy}

Step 1: ∂f/∂x=2x\partial f/\partial x = 2x, ∂f/∂y=2y\partial f/\partial y = 2y, ∂f/∂z=2z\partial f/\partial z = 2z
Step 2: ∇f=(2x,2y,2z)\nabla f = (2x, 2y, 2z)
Step 3: หาค่าที่ (1,2,2)(1, 2, 2): ∇f(1,2,2)=(2,4,4)\nabla f(1,2,2) = (2, 4, 4)
Answer: ∇f(1,2,2)=(2,4,4)\nabla f(1,2,2) = (2, 4, 4)

Frequently Asked Questions

อนุพันธ์สามัญ df/dx ใช้กับฟังก์ชันตัวแปรเดียว อนุพันธ์ย่อย ∂f/∂x ใช้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรและวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงเทียบกับตัวแปรหนึ่งในขณะที่ตรึงตัวอื่นไว้

ถ้าฟังก์ชัน f(x,y) มีอนุพันธ์ย่อยอันดับสองที่ต่อเนื่อง อนุพันธ์ย่อยผสมจะเท่ากัน: f_xy = f_yx ลำดับการหาอนุพันธ์ไม่มีผลในกรณีนั้น

เกรเดียนต์เป็นเวกเตอร์ที่ชี้ไปในทิศทางที่ขึ้นชันที่สุดของ f ที่จุดหนึ่ง ขนาดของมันคืออัตราการเปลี่ยนแปลงสูงสุดที่จุดนั้น และยังตั้งฉากกับเส้นโค้งระดับและผิวระดับของ f

เกรเดียนต์ดีเซนต์ใช้เกรเดียนต์ (เวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อย) ของฟังก์ชันการสูญเสียเทียบกับพารามิเตอร์ของแบบจำลอง อัลกอริทึมปรับพารามิเตอร์ในทิศทางเกรเดียนต์ที่เป็นลบเพื่อลดการสูญเสีย

Related Solvers

เครื่องคำนวณอนุพันธ์เครื่องคำนวณปริพันธ์เครื่องคำนวณลิมิต
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving