ฟังก์ชันไดลอการิทึม Li2(x) หาอนุพันธ์ได้ที่ x = 1 หรือไม่ จงให้เหตุผลประกอบ

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจก่อนว่าฟังก์ชันนิยามที่ $x=1$ ด้วยซ้ำหรือไม่ อนุกรมนี้มีรัศมีการลู่เข้าเท่ากับ $1$ และที่จุดปลาย $x=1$ มันกลายเป็นอนุกรม $p$ ที่ลู่เข้าโดยมี $p=2$

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx1.644934.$

   ฟังก์ชันจึงนิยามที่จุดนั้น และตามทฤษฎีบทของอาเบล มันยังต่อเนื่องจากทางซ้ายด้วย ส่วนการหาอนุพันธ์ได้เป็นข้อกำหนดที่เข้มกว่านั้นอย่างแท้จริง

2. 2

   หาอนุพันธ์ของอนุกรมภายในแผ่นจาน สำหรับ $|x|<1$ การหาอนุพันธ์ทีละพจน์ใช้ได้

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n^{2}}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.$

   ผลบวกข้างในคืออนุกรมเมอร์เคเตอร์ $-\ln(1-x)$ ดังนั้น

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad |x|<1.$

   ตรวจเชิงตัวเลขที่ $x=0.99$ ผลต่างกลางของอนุกรมให้ $4.651687$ และ $-\frac{\ln(0.01)}{0.99}=4.651687$ ✓

3. 3

   พิจารณาอนุพันธ์เมื่อ $x\to1^{-}$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $1$ จากทางล่าง จะได้ $1-x\to0^{+}$ ดังนั้น $\ln(1-x)\to-\infty$ จึงได้

   $-\frac{\ln(1-x)}{x}\longrightarrow+\infty.$

   ความชันโตขึ้นไม่มีขอบเขต ที่ $x=0.9$ เป็น $2.56$ ที่ $x=0.99$ เป็น $4.65$ ที่ $x=0.999$ เป็น $6.91$ เพิ่มขึ้นแบบ $\ln\frac{1}{1-x}$ อย่างช้า ๆ แต่ไม่มีที่สิ้นสุด

4. 4

   สรุปด้วยนิยามของอนุพันธ์ เนื่องจาก $\operatorname{Li}_{2}$ หาอนุพันธ์ได้บน $(0,1)$ โดยอนุพันธ์ลู่ไปยัง $+\infty$ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยจึงบังคับให้ผลหารผลต่าง $\frac{\operatorname{Li}_{2}(1)-\operatorname{Li}_{2}(x)}{1-x}$ ลู่ออกไปด้วย อนุพันธ์ทางซ้ายจึงเป็น $+\infty$ และไม่มีอนุพันธ์ที่มีค่าจำกัด

   $\operatorname{Li}_{2}\text{ ต่อเนื่องแต่หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ }x=1.$

   ในเชิงเรขาคณิต กราฟมีเส้นสัมผัสแนวดิ่งที่จุดนั้น

5. 5

   มองเห็นได้จากการกระจายเฉพาะที่ เอกลักษณ์ของแลนเดน $\operatorname{Li}_{2}(x)+\operatorname{Li}_{2}(1-x)=\frac{\pi^{2}}{6}-\ln x\ln(1-x)$ ให้ผลว่าเมื่อ $y=1-x\to0^{+}$

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\frac{\pi^{2}}{6}+(1-x)\ln(1-x)-(1-x)+O\!\left((1-x)^{2}\right).$

   เชิงตัวเลขที่ $y=0.001$ การกระจายให้ $1.63702631$ เทียบกับค่าจริง $1.63702261$ ✓ พจน์ $y\ln y$ คือตัวการ อนุพันธ์ของมันคือ $\ln y+1$ ซึ่งพุ่งไม่มีขอบเขต ยืนยันการหาอนุพันธ์ไม่ได้จากอีกทิศทางหนึ่ง