จงหาลิมิตของ (eˣ − 1)/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจรูปแบบ การแทน $x=0$ ให้ $\dfrac{e^0-1}{0}=\dfrac{0}{0}$ ซึ่งเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด การแทนค่าตรง ๆ ใช้ไม่ได้ จึงต้องหาลิมิตด้วยเส้นทางมาตรฐานเส้นใดเส้นหนึ่ง

2. 2

   เส้นทางที่ 1 — มองเห็นว่าเป็นอนุพันธ์ ผลหารผลต่างของ $f(x)=e^{x}$ ที่จุด $0$ ก็คือนิพจน์นี้พอดี

   $f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$

   เนื่องจาก $f^{\prime}(x)=e^{x}$ และ $f^{\prime}(0)=e^{0}=1$ ลิมิตจึงเป็น $1$ นี่คือมุมมองที่พื้นฐานที่สุด ลิมิตนี้คือข้อความที่ว่า $e^x$ มีความชัน $1$ ที่จุดกำเนิด

3. 3

   เส้นทางที่ 2 — ใช้อนุกรมแมกคลอริน จาก $e^{x}=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+\cdots$

   $\frac{e^{x}-1}{x}=\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots}{x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\cdots\longrightarrow 1$

   เส้นทางนี้ให้มากกว่าลิมิต มันแสดงว่าผลหารเข้าใกล้ $1$ แบบเชิงเส้น คือเหมือน $1+\tfrac{x}{2}$

4. 4

   เส้นทางที่ 3 — กฎของโลปีตาล หาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{1}=1$

   พึงระวังว่าถ้าใช้เส้นทางนี้ พิสูจน์ ผลลัพธ์จะวนเป็นวงกลมอยู่บ้าง เพราะการหา $\tfrac{d}{dx}e^x$ อาศัยลิมิตตัวนี้เองอยู่แล้ว แต่ในฐานะการคำนวณ มันได้ผลทันทีและถูกต้อง

5. 5

   ยืนยันด้วยตัวเลขและสังเกตว่าสองข้างตรงกัน ที่ $x=0.001$ ผลหารเป็น $1.0005002$ ที่ $x=-0.001$ เป็น $0.9995002$ ทั้งสองข้างเข้าใกล้ $1$ และค่าเบี่ยงเบนเป็น $\pm 0.0005\approx\tfrac{x}{2}$ ตรงตามที่อนุกรมทำนายไว้พอดี $\checkmark$