จงหาอนุกรมเทย์เลอร์ของ (1 − x)^k รอบ x = 0 โดยที่ k เป็นจำนวนจริงใด ๆ พร้อมระบุพจน์ทั่วไปและรัศมีการลู่เข้า

Step-by-step solution

1. 1

   ใช้ทฤษฎีบททวินามนัยทั่วไปแทนการหาอนุพันธ์ ในหลักการ อนุกรมแมกคลอรินคือ $\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$ แต่การคำนวณ $f^{(n)}(x)=(-1)^{n}k(k-1)\cdots(k-n+1)(1-x)^{k-n}$ ด้วยมือนั้นเหนื่อยมาก อนุกรมทวินามห่อผลลัพธ์เดียวกันนี้ไว้ให้แล้ว

   $(1+t)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}t^{n},\qquad \binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!},$

   ซึ่งใช้ได้เมื่อ $|t|<1$ และ $k$ เป็นจำนวนจริง ใด ๆ ไม่ใช่เฉพาะจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

2. 2

   แทน $t=-x$ นี่เป็นการปรับเพียงอย่างเดียวที่ต้องทำ

   $(1-x)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}(-x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\binom{k}{n}x^{n}.$

   ตัวประกอบ $(-1)^{n}$ คือที่มาของเครื่องหมายทุกตัวในการกระจาย

3. 3

   เขียนพจน์แรก ๆ ออกมา เมื่อกระจายสัมประสิทธิ์

   $(1-x)^{k}=1-kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^{2}-\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^{3}+\cdots$

   ตรวจกับกรณีที่คุ้นเคย: เมื่อ $k=-1$ สัมประสิทธิ์ $(-1)^{n}\binom{-1}{n}$ ทุกตัวเท่ากับ $1$ ซึ่งคืนอนุกรมเรขาคณิต $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots$ กลับมา ✓

4. 4

   สังเกตว่าอนุกรมจบลงเมื่อใด ถ้า $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ตัวประกอบ $(k-n)$ จะทำให้ $\binom{k}{n}=0$ สำหรับทุก $n>k$ ผลบวกจึงหยุดและลดรูปเป็นการกระจายทวินามจำกัดตามปกติ เช่น $(1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3}$ ส่วนค่า $k$ อื่น ๆ ทั้งหมด อนุกรมจะเป็นอนันต์จริง ๆ

5. 5

   ระบุรัศมีการลู่เข้าและตรวจด้วยตัวเลข จากการทดสอบอัตราส่วน $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|\frac{k-n}{n+1}\right||x|\to|x|$ อนุกรมจึงลู่เข้าเมื่อ

   $|x|<1$

   และลู่ออกเมื่อ $|x|>1$ ส่วนพฤติกรรมที่จุดปลายขึ้นกับ $k$ (ลู่เข้าทั้งสองปลายเมื่อ $k>0$) ตรวจด้วยตัวเลขที่ $k=2.5$ และ $x=0.3$: การบวกหกสิบพจน์ให้ $0.409963413001697$ เทียบกับ $(0.7)^{2.5}=0.409963413001697$ ✓