จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ ln(x) · arctan(x) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกว่าจะหาอนุพันธ์ของตัวประกอบใด ทั้ง $\ln x$ และ $\tan^{-1}x$ ต่างมีอนุพันธ์ที่ง่าย แต่มีปฏิยานุพันธ์ที่ยุ่งยาก การเลือก $u=\ln x$ (จึงได้ $du=\frac{dx}{x}$) และ $dv=\tan^{-1}(x)\,dx$ ใช้ได้ดีกว่า เพราะ $\frac{1}{x}$ ที่ได้ออกมาจะ ตัด กับ $x$ ที่อยู่ใน $v$ เป็นตัวเลือกที่ทำให้ปริพันธ์ที่เหลือง่ายขึ้น ไม่ใช่แย่ลง

2. 2

   หา $v=\int\tan^{-1}x\,dx$ ด้วยการอินทิเกรตทีละส่วนรอบเตรียมการ ให้ $a=\tan^{-1}x$ และ $db=dx$

   $\int\tan^{-1}x\,dx=x\tan^{-1}x-\int\frac{x}{1+x^{2}}dx=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2}).$

   ปริพันธ์ก้อนสุดท้ายคือการแทนค่า $u$ ด้วย $u=1+x^{2}$ ซึ่งให้ $\tfrac12$ ออกมา

3. 3

   ใช้การอินทิเกรตทีละส่วนรอบหลัก เมื่อ $u=\ln x$ และ $v=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})$

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=\ln x\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)-\int\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)\frac{dx}{x}.$

   หารด้วย $x$ ภายในปริพันธ์จะได้

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-\int\tan^{-1}x\,dx+\tfrac12\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx.$

   นี่คือการตัดกันที่ทำนายไว้ในขั้นที่ 1 พอดี $x\tan^{-1}x\cdot\frac1x$ ยุบเหลือ $\tan^{-1}x$ ซึ่งเป็นปริพันธ์ที่คำนวณไปแล้ว

4. 4

   มองให้ออกว่าปริพันธ์ที่เหลือคือไดลอการิทึม ก้อน $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx$ ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน แทนค่า $t=-x^{2}$ แล้วเทียบกับนิยาม $\operatorname{Li}_{2}(z)=-\int_{0}^{z}\frac{\ln(1-w)}{w}dw$ จะได้

   $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx=-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   ตรวจเชิงตัวเลข การหาอนุพันธ์ของ $-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})$ ที่ $x=0.6$ ให้ $0.5124745$ และ $\frac{\ln(1.36)}{0.6}=0.5124745$ ✓

5. 5

   ประกอบเป็นรูปปิด แทนค่า $\int\tan^{-1}x\,dx$ จากขั้นที่ 2 และไดลอการิทึมจากขั้นที่ 4 เข้าไป

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-x\tan^{-1}x+\tfrac12\ln(1+x^{2})-\tfrac14\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   คำตอบจึงมีรูปปิด แต่ก็ต่อเมื่อยอมรับไดลอการิทึมเข้ามาเท่านั้น ไม่มีการประกอบกันของฟังก์ชันมูลฐานใดทำได้

6. 6

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์เชิงตัวเลข หาอนุพันธ์ของข้างขวาด้วยผลต่างกลาง ที่ $x=0.5$ ได้ $-0.32137603$ เทียบกับ $\ln(0.5)\tan^{-1}(0.5)=-0.32137603$ ✓ ที่ $x=0.7$ ได้ $-0.21783065$ เทียบกับ $-0.21783065$ ✓ การตรงกันถึงแปดหลักที่จุดอิสระสองจุดยืนยันสัมประสิทธิ์ทุกตัว