จงหาค่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ x² − 13·x^(2/4) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   ลดรูปเลขชี้กำลังให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ $\tfrac{2}{4} = \tfrac12$ ดังนั้น $x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$ และตัวถูกอินทิเกรตคือ

   $x^2 - 13\sqrt{x}$

   การปล่อยเลขชี้กำลังไว้แบบไม่ลดรูปก็ไม่ผิด แต่ทำให้การคำนวณ $n+1$ ในขั้นต่อไปยุ่งยากโดยไม่จำเป็น

2. 2

   แยกปริพันธ์ด้วยสมบัติเชิงเส้น

   $\int \left(x^2 - 13x^{1/2}\right)dx = \int x^2\,dx - 13\int x^{1/2}\,dx$

3. 3

   ใช้กฎกำลังกับแต่ละพจน์ ด้วย $\int x^n dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ใช้ได้เพราะไม่มีเลขชี้กำลังตัวใดเป็น $-1$)

   $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, \qquad \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$

4. 4

   คูณด้วยสัมประสิทธิ์

   $-13 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} = -\frac{26}{3}x^{3/2}$

5. 5

   ประกอบเป็นคำตอบ

   $\int \left(x^2 - 13\sqrt{x}\right)dx = \frac{x^3}{3} - \frac{26}{3}x^{3/2} + C$

6. 6

   หาอนุพันธ์เพื่อตรวจ $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^3}{3}\right) = x^2$ และ $\tfrac{d}{dx}\left(-\tfrac{26}{3}x^{3/2}\right) = -\tfrac{26}{3}\cdot\tfrac32 x^{1/2} = -13\sqrt{x}$ อนุพันธ์คืนตัวถูกอินทิเกรตกลับมาพอดี สังเกตโดเมนด้วย $\sqrt{x}$ ต้องการ $x \ge 0$