จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ (x⁴ − 3x² + 5)/x เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   อย่าเพิ่งไปคว้าการแทนค่า ตัวส่วนที่เป็นเอกนามตัวเดียวหมายความว่าเศษส่วนแยกออกได้อย่างสะอาด และการแยกก่อนจะเปลี่ยนผลหารที่ยุ่งยากหนึ่งก้อนให้เป็นปริพันธ์มาตรฐานสามก้อน ทั้งการแทนค่าและการทำทีละส่วนต่างก็เปล่าประโยชน์ในข้อนี้

2. 2

   หารทุกพจน์ในตัวเศษด้วย $x$ $\frac{x^4-3x^2+5}{x}=\frac{x^4}{x}-\frac{3x^2}{x}+\frac5x=x^3-3x+\frac5x.$

3. 3

   ใช้กฎกำลังกับส่วนที่เป็นพหุนาม $\displaystyle\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}$ และ $\displaystyle\int -3x\,dx=-\frac{3x^2}{2}$

4. 4

   จัดการพจน์ $5/x$ ด้วยกฎลอการิทึม กฎกำลังใช้ไม่ได้ที่เลขชี้กำลัง $-1$ จึงต้องใช้ $\displaystyle\int\frac5x\,dx=5\ln|x|$ แทน ค่าสัมบูรณ์มีความสำคัญ เพราะตัวถูกอินทิเกรตเดิมนิยามสำหรับ $x$ ที่เป็นลบด้วย

5. 5

   ประกอบเข้าด้วยกันแล้วตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ $\int\frac{x^4-3x^2+5}{x}\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+5\ln|x|+C.$ หาอนุพันธ์แล้วได้ $x^3-3x+\frac5x$ ซึ่งเป็นตัวถูกอินทิเกรตที่จัดรูปแล้วพอดี คำตอบจึงถูกต้อง