จงหาค่าปริพันธ์ของ 5 y^(2/5) เทียบกับ y

Step-by-step solution

1. 1

   ดึงค่าคงตัวออกไปข้างนอก ตัวประกอบที่เป็นตัวเลขผ่านปริพันธ์ออกไปได้ตรง ๆ

   $\int 5y^{2/5}\,dy=5\int y^{2/5}\,dy$

2. 2

   ใช้กฎกำลังสำหรับการอินทิเกรต สำหรับ $n\neq -1$

   $\int y^n\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C$

   ในที่นี้ $n=\tfrac25$ ซึ่งห่างจากค่าที่ถูกยกเว้นคือ $-1$ อย่างปลอดภัย กฎนี้จึงใช้ได้

3. 3

   บวกหนึ่งเข้ากับเลขชี้กำลัง ใช้ตัวส่วนร่วมเป็น $5$

   $\frac{2}{5}+1=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7}{5}$

   $\int y^{2/5}\,dy=\frac{y^{7/5}}{7/5}$

4. 4

   เปลี่ยนการหารด้วยเศษส่วนให้เป็นการคูณ การหารด้วย $\tfrac75$ คือการคูณด้วย $\tfrac57$

   $5\cdot\frac{5}{7}y^{7/5}=\frac{25}{7}y^{7/5}$

   ปฏิยานุพันธ์จึงเป็น $\tfrac{25}{7}y^{7/5}+C$

5. 5

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ย้อนกลับ อนุพันธ์ต้องให้ตัวถูกอินทิเกรตกลับมา

   $\frac{d}{dy}\left(\frac{25}{7}y^{7/5}\right)=\frac{25}{7}\cdot\frac{7}{5}y^{2/5}=5y^{2/5}\qquad\checkmark$

   เชิงตัวเลขที่ $y=2$ อนุพันธ์มีค่า $5\cdot 2^{0.4}\approx 6.5975$ ตรงกับผลหารผลต่างเชิงตัวเลขของปฏิยานุพันธ์ $\checkmark$