จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ 1/x² − 1/(3 · √x) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   เขียนทั้งสองพจน์ใหม่ให้เป็นกำลังของ $x$ กฎกำลังใช้ไม่ได้จนกว่าจะกำจัดรากและส่วนกลับออกไปก่อน

   $\frac{1}{x^2}=x^{-2},\qquad \frac{1}{3\sqrt x}=\frac13x^{-1/2}$

   การแปลงตรงนี้คือจุดที่ตัดสินโจทย์จริง ๆ ที่เหลือหลังจากนี้เป็นงานกลไกล้วน

2. 2

   อินทิเกรต $x^{-2}$ บวกหนึ่งเข้ากับเลขชี้กำลังได้ $-1$

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   กฎกำลังใช้ได้เพราะเลขชี้กำลังใหม่ไม่ใช่ $-1$ มีเพียง $\int x^{-1}dx$ เท่านั้นที่ต้องใช้ลอการิทึมแทน

3. 3

   อินทิเกรต $\tfrac13x^{-1/2}$ บวกหนึ่งเข้ากับ $-\tfrac12$ ได้ $+\tfrac12$

   $\int\frac13x^{-1/2}dx=\frac13\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=\frac{2}{3}x^{1/2}=\frac23\sqrt x$

   การหารด้วย $\tfrac12$ ทำให้สัมประสิทธิ์เพิ่มเป็นสองเท่า นี่คือเหตุผลที่ $\tfrac13$ กลายเป็น $\tfrac23$

4. 4

   รวมเข้าด้วยกันพร้อมเครื่องหมายลบและค่าคงตัวตัวเดียว

   $\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\right)dx=-\frac1x-\frac23\sqrt x+C$

5. 5

   หาอนุพันธ์เพื่อตรวจ

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}-\frac23x^{1/2}+C\right)=x^{-2}-\frac23\cdot\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\;\checkmark$

   สังเกตโดเมนด้วย ตัวถูกอินทิเกรตต้องการ $x>0$ เพราะมีรากที่สอง ปฏิยานุพันธ์จึงใช้ได้บน $(0,\infty)$