จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ 3/x − 2/x² เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   แยกด้วยสมบัติเชิงเส้นแล้วดึงค่าคงตัวออกมา

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\int\frac{dx}{x}-2\int\frac{dx}{x^2}$

   โดเมนคือ $x\neq0$ และปฏิยานุพันธ์ใช้ได้แยกกันบน $(-\infty,0)$ กับ $(0,\infty)$

2. 2

   พจน์แรก กรณีเดียวที่กฎกำลังจัดการไม่ได้ เขียน $\tfrac1x=x^{-1}$ กฎ $\int x^ndx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ จะกลายเป็นการหารด้วย $n+1=0$ ดังนั้น $n=-1$ จึงเป็นข้อยกเว้น ซึ่งจัดการด้วยลอการิทึม

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   ค่าสัมบูรณ์คือสิ่งที่ทำให้สูตรนี้ใช้ได้กับ $x$ ที่เป็นลบ พจน์แรกจึงให้ $3\ln|x|$

3. 3

   พจน์ที่สอง กฎกำลังใช้ได้ตามปกติ ในที่นี้ $\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ และ $n+1=-1\neq0$

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   ดังนั้น $2\int x^{-2}dx=-\dfrac{2}{x}$

4. 4

   ใส่เครื่องหมายลบที่นำหน้า ตัวถูกอินทิเกรตลบก้อนที่สองนี้ออก

   $-2\int x^{-2}dx=-\left(-\frac{2}{x}\right)=+\frac{2}{x}$

   การพลิกเครื่องหมายคือขั้นที่หลุดกันบ่อยที่สุด คำตอบมี $+\tfrac2x$ ไม่ใช่ $-\tfrac2x$

5. 5

   รวมเป็นปฏิยานุพันธ์เดียว

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\ln|x|+\frac{2}{x}+C$

   สองพจน์ที่หน้าตาคล้ายกันให้ฟังก์ชันคนละชนิดโดยสิ้นเชิง คือลอการิทึมกับพจน์ตรรกยะ

6. 6

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ $\dfrac{d}{dx}\left[3\ln|x|+\tfrac2x\right]=\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}$ ✓ ตรวจเชิงตัวเลข ผลหารผลต่างสมมาตรที่ $x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$ ตรงกับตัวถูกอินทิเกรตถึงห้าหลัก ✓ รวมทั้งที่ $x$ เป็นลบด้วย