จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ 1/(a − bx) เทียบกับ x เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัวและ b ไม่เท่ากับศูนย์

Step-by-step solution

1. 1

   เลือกการแทนค่า ตัวส่วนเป็นเชิงเส้น จึงให้ตัวส่วนทั้งก้อนเป็นตัวแปรใหม่

   $u=a-bx$

   นี่คือวิธีมาตรฐานสำหรับ $\int\frac{dx}{\text{เชิงเส้น}}$ ทุกแบบ อย่าเพิ่งไปคว้าเศษส่วนย่อยหรือสูตร $\ln$ ที่ท่องมา

2. 2

   หาอนุพันธ์ของการแทนค่าแล้วแก้หา dx

   $du=-b\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad dx=-\frac{1}{b}\,du$

   เครื่องหมายลบมาจาก $-bx$ การทำมันหายไปคือความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในปริพันธ์ข้อนี้

3. 3

   เขียนปริพันธ์ใหม่ในตัวแปร u

   $\int\frac{1}{a-bx}\,dx=\int\frac{1}{u}\left(-\frac{1}{b}\right)du=-\frac{1}{b}\int\frac{du}{u}$

   ค่าคงตัว $-\tfrac1b$ ถูกดึงออกนอกปริพันธ์ได้ตรง ๆ

4. 4

   อินทิเกรตแล้วแทนกลับ เนื่องจาก $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C$

   $-\frac{1}{b}\ln|u|+C=-\frac{1}{b}\ln|a-bx|+C$

   ค่าสัมบูรณ์เป็นสิ่งจำเป็น เพราะ $a-bx$ เปลี่ยนเครื่องหมายที่ $x=\tfrac{a}{b}$ ซึ่งเป็นจุดที่ตัวถูกอินทิเกรตมีเส้นกำกับแนวดิ่ง และปฏิยานุพันธ์ใช้ได้แยกกันคนละฝั่ง

5. 5

   จำแบบรูปทั่วไปไว้ สำหรับฟังก์ชันข้างในที่เป็นเชิงเส้นใด ๆ

   $\int\frac{dx}{px+q}=\frac{1}{p}\ln|px+q|+C$

   ในที่นี้ $p=-b$ ซึ่งให้ $-\tfrac1b$ ออกมาโดยตรง สัมประสิทธิ์ที่อยู่ข้างหน้าคือ ส่วนกลับของความชันข้างใน เสมอ

6. 6

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ โดยกฎลูกโซ่ $\frac{d}{dx}\left[-\frac1b\ln|a-bx|\right]=-\frac1b\cdot\frac{-b}{a-bx}=\frac{1}{a-bx}$ ✓ ตรวจเชิงตัวเลขด้วย $a=3.7$, $b=1.9$ ผลหารผลต่างสมมาตรที่ $x=0.4,\,-2.0,\,3.0$ ตรงกับตัวถูกอินทิเกรตถึงห้าหลัก ✓ รวมทั้งจุดที่อยู่คนละฝั่งของเส้นกำกับที่ $x=1.947$