จงหาปริพันธ์ของ 1/x เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   ดูให้เห็นว่าทำไมกฎกำลังใช้ไม่ได้ตรงนี้ กฎ $\int x^{p}dx=\dfrac{x^{p+1}}{p+1}$ พังที่ $p=-1$ เพราะตัวส่วน $p+1$ กลายเป็นศูนย์ ดังนั้น $\int x^{-1}dx$ จึงเป็นข้อยกเว้นเพียงข้อเดียวในตระกูลนี้ และต้องมีคำตอบเป็นของตัวเอง

2. 2

   เริ่มจากอนุพันธ์ของลอการิทึม สำหรับ $x>0$ มี $\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}$ ดังนั้น $\ln x$ จึงเป็นปฏิยานุพันธ์ เฉพาะบนแกนด้านบวกเท่านั้น เพราะ $\ln x$ ไม่นิยามเมื่อ $x\le 0$

3. 3

   จัดการกรณี $x$ เป็นลบ ซึ่งตัวถูกอินทิเกรตยังใช้ได้ดี $\dfrac1x$ นิยามได้อย่างสมบูรณ์เมื่อ $x<0$ จึงต้องมีปฏิยานุพันธ์ตรงนั้นด้วย สำหรับ $x<0$ เขียน $|x|=-x$ แล้วหาอนุพันธ์ด้วยกฎลูกโซ่

   $\frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}$

   ได้อนุพันธ์ตัวเดียวกันออกมา ซึ่งเป็นเหตุผลที่ค่าสัมบูรณ์เป็นการอุดช่องโหว่ที่ถูกต้อง

4. 4

   รวมทั้งสองกรณีเป็นสูตรเดียว

   $\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\left|x\right|+C\qquad(x\neq 0)$

   ถ้าเขียนเป็น $\ln x+C$ แทน จะเป็นการจำกัดคำตอบไว้ที่ $x>0$ อย่างเงียบ ๆ และให้นิพจน์ที่ไม่นิยามสำหรับค่าที่ป้อนเข้าที่เป็นลบทุกค่า

5. 5

   สังเกตรายละเอียดปลีกย่อยเรื่องค่าคงตัว เนื่องจากโดเมน $x\neq 0$ ถูกแยกเป็นสองส่วนที่ไม่เชื่อมต่อกัน ค่าคงตัวจึงต่างกันได้ในแต่ละฝั่ง ปฏิยานุพันธ์ทั่วไปอย่างเต็มที่คือ $\ln|x|+C_{1}$ เมื่อ $x>0$ และ $\ln|x|+C_{2}$ เมื่อ $x<0$ เรื่องนี้สำคัญกับปริพันธ์จำกัดเขต ปริพันธ์ที่คร่อม $0$ อย่าง $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$ เป็นแบบไม่ตรงแบบและลู่ออก ไม่ใช่ $\ln 1-\ln 1=0$