จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ 2/x − 1/x² เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   แยกปริพันธ์ด้วยสมบัติเชิงเส้น การอินทิเกรตกระจายเข้าไปในผลต่างได้ และค่าคงตัวดึงออกมาข้างหน้าได้

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\int\frac{dx}{x}-\int\frac{dx}{x^2}$

   โดเมนคือ $x\neq0$ และปฏิยานุพันธ์ใช้ได้แยกกันบน $(-\infty,0)$ กับ $(0,\infty)$

2. 2

   จัดการพจน์แรก ซึ่งเป็นข้อยกเว้นของกฎกำลัง เขียน $\tfrac1x=x^{-1}$ ถ้าใช้สูตรปกติ $\int x^n dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ จะกลายเป็นการหารด้วย $n+1=0$ นั่นคือเหตุผลที่ $n=-1$ เป็นข้อยกเว้นเพียงข้อเดียว

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   ค่าสัมบูรณ์ทำให้สูตรใช้ได้กับ $x$ ที่เป็นลบด้วย พจน์แรกจึงให้ $2\ln|x|$

3. 3

   จัดการพจน์ที่สองด้วยกฎกำลังธรรมดา ในที่นี้ $\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ และ $n=-2$ ดังนั้น $n+1=-1\neq0$ กฎมาตรฐานจึงใช้ได้

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

4. 4

   ใส่เครื่องหมายลบที่อยู่หน้าปริพันธ์ที่สอง ตัวถูกอินทิเกรตมี $-\tfrac{1}{x^2}$ ดังนั้น

   $-\int x^{-2}dx=-\left(-\frac1x\right)=+\frac1x$

   ลบสองตัวกลายเป็นบวก คือขั้นที่หลุดกันบ่อยที่สุด

5. 5

   รวมเป็นปฏิยานุพันธ์เดียว

   $\int\left(\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=2\ln|x|+\frac1x+C$

   สังเกตว่าสองพจน์ที่ดูผิวเผินคล้ายกันกลับให้ฟังก์ชันคนละชนิดโดยสิ้นเชิง คือลอการิทึมกับพจน์ตรรกยะ

6. 6

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ $\dfrac{d}{dx}\left[2\ln|x|+\tfrac1x\right]=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}$ ✓ ตรวจเชิงตัวเลข ผลหารผลต่างสมมาตรที่ $x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$ ตรงกับตัวถูกอินทิเกรตถึงห้าหลัก ✓ รวมทั้งที่ $x$ เป็นลบซึ่งค่าสัมบูรณ์มีผล