ติดตรงนี้? แก้มันด้วย AI
Calculus · real student question

จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ e^x/x เทียบกับ x

Question

จงหา

∫exx dx\int\frac{e^x}{x}\,dx

Step-by-step solution

  1. ลองใช้เทคนิคปกติแล้วดูว่ามันล้มเหลวอย่างไร การแทนค่าต้องการให้อนุพันธ์ของฟังก์ชันข้างในปรากฏเป็นตัวประกอบ แต่ทั้ง u=xu=x และ u=exu=e^x ต่างก็ไม่ให้ 1x\tfrac1x ออกมา ส่วนการอินทิเกรตทีละส่วนก็เพียงย้ายความยากไปที่อื่น ถ้าให้ u=exu=e^x, dv=dxxdv=\tfrac{dx}{x} จะได้ exln⁡x−∫exln⁡x dxe^x\ln x-\int e^x\ln x\,dx ซึ่งแย่กว่าเดิม นี่เป็นสัญญาณ ไม่ใช่โชคร้าย

  2. ระบุผลลัพธ์ที่แท้จริง ตามทฤษฎีบทของลียูวิลล์ว่าด้วยการอินทิเกรตแบบมูลฐาน exx\dfrac{e^x}{x} ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน ไม่มีการประกอบกันจำนวนจำกัดของพหุนาม ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ และกรณฑ์ ที่หาอนุพันธ์แล้วได้ฟังก์ชันนี้ ปฏิยานุพันธ์ของมันจึงถูกตั้งชื่อเรียกแทน

    ∫exx dx=Ei⁡(x)+C\int\frac{e^x}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(x)+C

  3. นิยามปริพันธ์เลขชี้กำลัง นิยามมาตรฐานแบบหนึ่งคือ

    Ei⁡(x)=∫−∞xett dt\operatorname{Ei}(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{e^t}{t}\,dt

    โดยถือเป็นค่าหลักโคชี เพราะตัวถูกอินทิเกรตพุ่งไม่มีขอบเขตที่ t=0t=0 ตามทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส การหาอนุพันธ์ของนิยามนี้จะคืนตัวถูกอินทิเกรตกลับมา

    ddxEi⁡(x)=exx\frac{d}{dx}\operatorname{Ei}(x)=\frac{e^x}{x}

    ซึ่งเป็นสมบัติที่ปฏิยานุพันธ์ต้องมีพอดี

  4. สังเกตว่ายังมีอนุกรมให้ใช้ถ้าต้องการสูตร กระจาย ex=∑n≥0xnn!e^x=\sum_{n\ge0}\tfrac{x^n}{n!} แล้วหารด้วย xx

    exx=1x+∑n≥1xn−1n!\frac{e^x}{x}=\frac1x+\sum_{n\ge1}\frac{x^{n-1}}{n!}

    อินทิเกรตทีละพจน์ได้

    ∫exx dx=ln⁡∣x∣+∑n≥1xnn⋅n!+C\int\frac{e^x}{x}\,dx=\ln|x|+\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n\cdot n!}+C

    ซึ่งเท่ากับ Ei⁡(x)−γ\operatorname{Ei}(x)-\gamma เมื่อ x>0x>0 โดย γ≈0.5772\gamma\approx0.5772 คือค่าคงตัวออยเลอร์-มัสเชโรนี นี่คือวิธีคำนวณค่าจริงในทางปฏิบัติ

  5. เทียบกับปริพันธ์ที่ทำได้ ∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx=e^x+C และ ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C ต่างก็เป็นแบบมูลฐาน มีเพียง ผลหาร ของทั้งสองเท่านั้นที่หลุดออกไป ทำนองเดียวกัน ∫e−x2dx\int e^{-x^2}dx และ ∫sin⁡xxdx\int\tfrac{\sin x}{x}dx ก็ไม่ใช่แบบมูลฐาน ขณะที่ ∫xexdx\int xe^{x}dx กลับไม่มีปัญหา ไม่มีกฎง่าย ๆ ให้จำ นี่คือเหตุผลที่ทฤษฎีบทนั้นสำคัญ

  6. ตรวจอนุกรมเชิงตัวเลข ที่ x=1x=1 อนุกรมที่ตัดปลายแล้ว ln⁡1+∑n=1201n⋅n!=1.31790\ln1+\sum_{n=1}^{20}\tfrac{1}{n\cdot n!}=1.31790 และ Ei⁡(1)−γ=1.89512−0.57722=1.31790\operatorname{Ei}(1)-\gamma=1.89512-0.57722=1.31790 ✓ ทั้งสองตรงกัน เป็นการยืนยันการอินทิเกรตทีละพจน์

Answer

∫exx dx=Ei⁡(x)+C=ln⁡∣x∣+∑n=1∞xnn⋅n!+C+γ\int\frac{e^x}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(x)+C=\ln|x|+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\cdot n!}+C+\gamma

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions