Приведите x² + 8x = -4y - 8 к стандартному виду и укажите вершину, фокус, ось симметрии и директрису параболы.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, по какой переменной выделять полный квадрат. Квадрат встречается только у $x$, значит, парабола вертикальная и относится к семейству $(x-h)^2 = 4p(y-k)$. Группировка $x$-членов слева и линейного $y$ справа соответствует этому виду.

2. 2

   Выделим полный квадрат по $x$. Половина коэффициента $8$ равна $4$, а $4^2 = 16$, поэтому прибавим $16$ к обеим частям уравнения для сохранения равенства:

   $x^2 + 8x + 16 = -4y - 8 + 16$

   $(x+4)^2 = -4y + 8$

3. 3

   Вынесем множитель справа для выделения $4p$ и $k$. Вынесение $-4$ приводит уравнение к стандартному виду:

   $(x+4)^2 = -4(y-2)$

   Сравнивая с $(x-h)^2 = 4p(y-k)$, получаем $h=-4$, $k=2$ и $4p=-4$, значит $p=-1$. Отрицательное $p$ указывает, что ветви параболы направлены вниз.

4. 4

   Считаем вершину и ось симметрии. Вершина — это $(h, k) = (-4,\,2)$, а ось симметрии — вертикальная прямая $x=-4$, относительно которой парабола симметрична.

5. 5

   Находим фокус и директрису с помощью $p$. Фокус находится на $|p|$ единицу от вершины внутри параболы, директриса — на таком же расстоянии снаружи:

   $\text{фокус} = (h,\ k+p) = (-4,\ 1), \qquad \text{директриса: } y = k - p = 3$

6. 6

   Проверим по определению параболы. Любая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы. Подставим $x=0$, тогда $y=-2$: расстояние до фокуса $(-4,1)$ — $\sqrt{4^2+3^2}=5$, до прямой $y=3$ — $|-2-3| = 5$. Расстояния совпадают, значит, фокус и директриса найдены верно.