Чему равен квадратный корень из 400 и почему? Объясните, как найти его без калькулятора.

Step-by-step solution

1. 1

   Начнём с определения. Квадратный корень числа $N$ — это значение, которое при умножении само на себя даёт $N$. Значит, найти $\sqrt{400}$ — это решить

   $k\times k=400.$

   В этом и состоит вся задача; всё дальнейшее — лишь удобный способ отыскать $k$.

2. 2

   Разложим 400 на простые множители и разобьём их на пары. Последовательное деление даёт

   $400=4\times 100=2^{2}\times(2^{2}\times 5^{2})=2^{4}\times 5^{2}.$

   Все показатели чётные — это в точности условие того, что $400$ является точным квадратом. Разделив каждый показатель пополам:

   $\sqrt{400}=2^{4/2}\times 5^{2/2}=2^{2}\times 5=20.$

   Способ работает для любого точного квадрата и не требует угадывания.

3. 3

   Проверим обратным умножением. Возведём кандидата в квадрат:

   $20\times 20=400 ✓.$

   Вторая полезная проверка — правило нулей на конце: у $400$ два нуля, значит, у корня один, а $\sqrt{4}=2$ даёт первую цифру, откуда и получается $20$.

4. 4

   Учтём соглашение о знаке. В квадрат $400$ дают и $20$, и $-20$, но знак радикала $\sqrt{\ }$ обозначает арифметический (неотрицательный) корень, поэтому $\sqrt{400}=20$. Ответ с двумя знаками $x=\pm20$ относится к уравнению $x^{2}=400$, а не к выражению $\sqrt{400}$, — различие, которое стоит держать в голове.

5. 5

   Прикинем оценкой снизу и сверху. Так как $19^{2}=361$, а $21^{2}=441$, корень строго между $19$ и $21$, и единственное целое число там — $20$ ✓. Именно так оценивают корни чисел, которые не являются точными квадратами, например $\sqrt{410}\approx 20.25$.