Калькулятор доверительного интервала

Доверительный интервал (ДИ) — это диапазон правдоподобных значений неизвестного параметра генеральной совокупности, построенный по выборочным данным. 95%-ный доверительный интервал означает: если повторять процедуру выборки много раз, примерно 95% построенных интервалов будут содержать истинный параметр.

Важно: 95% относятся к процедуре, а не к какому-либо одному вычисленному интервалу. После того как интервал построен по данным, он либо содержит, либо не содержит истинный параметр — но мы не знаем, какой случай.

Основная структура: каждый доверительный интервал имеет вид

$\text{оценка} \pm \text{предельная ошибка}$

Оценка — это выборочная статистика ($\bar{x}$ или $\hat{p}$). Предельная ошибка — это критическое значение, умноженное на стандартную ошибку оценки.

Доверительные интервалы встречаются в:

• Предвыборных опросах («поддержка 52%, $\pm 3\%$ предельная ошибка»)
• Медицинских исследованиях (ДИ размера эффекта)
• Контроле качества (средние частоты дефектов)
• Любых случаях, когда нужно количественно оценить неопределённость оценки, а не просто сообщить точечное значение.

ДИ для среднего генеральной совокупности (Z-интервал)

Когда стандартное отклонение генеральной совокупности $\sigma$ известно, а выборочное распределение приближённо нормально (большое $n$ или нормальная совокупность):

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

где $z^*$ — критическое значение для выбранного уровня доверия.

ДИ для среднего генеральной совокупности (T-интервал)

Когда $\sigma$ неизвестно (у вас есть только $s$, выборочное стандартное отклонение) — гораздо более распространённый случай на практике:

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

Критическое значение $t^*$ берётся из распределения Стьюдента с $n - 1$ степенями свободы. Для большого $n$ ($\geq 30$) $t^* \approx z^*$, и два интервала очень похожи.

ДИ для доли в генеральной совокупности

Для выборочной доли $\hat{p} = x/n$ (где $x$ — число успехов):

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

Справедливо, когда $n\hat{p} \geq 10$ и $n(1 - \hat{p}) \geq 10$ (условие успехов-неудач).

Критические значения

Предельная ошибка

$\text{ПО} = (\text{критическое значение}) \times (\text{стандартная ошибка})$

Увеличение объёма выборки $n$ уменьшает стандартную ошибку (и, следовательно, предельную ошибку) в $\sqrt{n}$ раз. Учетверение $n$ вдвое уменьшает предельную ошибку.

Выбор уровня доверия

• Более высокий уровень доверия = более широкий интервал. 99% ДИ шире 95% ДИ, который шире 90% ДИ.
• 95% — значение по умолчанию в большинстве академических и профессиональных контекстов.
• 99% — когда ставки выше (медицина, безопасность); 90% — когда более узкая точечная оценка важнее покрытия.

• Неправильная трактовка 95%: «Вероятность того, что истинное среднее находится в этом интервале, равна 95%» неверно (частотный подход). Правильное утверждение касается процедуры: 95% аналогично построенных интервалов содержат истинный параметр.
• Использование z, когда уместно t: при неизвестном $\sigma$ используйте $t^*$. Использование $z^*$ занижает неопределённость, особенно при малом $n$.
• Забывают $\sqrt{n}$ в стандартной ошибке: $\sigma/\sqrt{n}$, а не $\sigma/n$.
• Неверное направление критического значения: $z^* = 1.96$ для 95% (двусторонний), а не $z = 1.645$ для 95-го процентиля. Двустороннее критическое значение отсекает $\alpha/2$ в каждом хвосте.
• Пропуск условия успехов-неудач для долей: если $n\hat{p}$ или $n(1-\hat{p}) < 10$, нормальное приближение нарушается — используйте точный (Клоппера — Пирсона) или интервал на основе оценки счёта.
• Смешение ДИ с интервалом предсказания: 95% ДИ оценивает среднее с покрытием 95%. Интервал предсказания оценивает одно будущее наблюдение — гораздо шире.