Калькулятор преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа превращает функцию времени $f(t)$ в функцию комплексной частоты $F(s)$:

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

Преобразование определено для $s$ в некоторой правой полуплоскости $\operatorname{Re}(s) > \sigma$, где интеграл сходится.

Почему это полезно: преобразование Лапласа превращает дифференцирование в умножение на $s$, превращая линейные ОДУ с постоянными коэффициентами в алгебраические уравнения относительно $s$. Вы решаете алгебраическое уравнение, затем берёте обратное преобразование Лапласа, чтобы получить ответ во временной области.

Преобразование Лапласа также элегантно обрабатывает разрывные и импульсные входные воздействия (ступенчатые функции, дельта-функции Дирака), что делает его незаменимым в теории управления, обработке сигналов и электротехнике.

Основные пары преобразований

Запомните основную таблицу:

Ключевые свойства

Линейность:

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

Первая теорема о смещении (сдвиг по s):

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

Именно так $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$.

Дифференцирование в области $t$:

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

Именно это превращает ОДУ в алгебру: производные становятся многочленами от $s$, умноженными на $F(s)$, со встроенными начальными условиями.

Умножение на $t$:

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

Обратное преобразование Лапласа

По заданному $F(s)$ найдите $f(t)$ такое, что $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$. Стандартные приёмы:

1. Простейшие дроби: разложите $F(s)$ на простые рациональные части, соответствующие таблице.
2. Выделение полного квадрата: для форм $\frac{1}{s^2 + bs + c}$ перепишите как $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$, чтобы сопоставить со смещённой записью синуса в таблице.
3. Найдите по таблице и объедините с помощью линейности.

Решение ОДУ преобразованием Лапласа

Для $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$, $y(0) = 0, y'(0) = 1$:

1. Примените Лаплас: $s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. Выразите $Y$: $Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$, поэтому $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$ (после упрощения).
3. Обратите: $y(t) = t e^{-t}$.

Чисто и механически — та же задача методом вариации параметров требует вдвое больше работы.

• Забывают начальные условия: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$. Пропуск $f(0)$ — самая распространённая ошибка.
• Неверный знак в сдвиге по s: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$, а не $F(s + a)$. Знак имеет значение.
• Неправильная работа с разрывами: для ступенчатых входов используйте единичную ступенчатую функцию $u(t-a)$ и теорему о сдвиге по времени $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$.
• Обратное преобразование без простейших дробей: $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ не обращается напрямую — сначала разложите.
• Путают $F(s)$ с $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$: $F(s)$ — это преобразование, $f(t)$ — оригинал. Всегда завершайте задачи с ОДУ возвратом во временную область.