AI Math
Открыть приложение

Калькулятор несобственных интегралов

Вычисляйте несобственные интегралы с бесконечными пределами или неограниченными подынтегральными функциями с пошаговыми решениями на основе ИИ
integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

Что такое несобственный интеграл?

Несобственный интеграл — это определённый интеграл, в котором либо:

  1. Промежуток бесконечен: например, ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx или ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. Подынтегральная функция имеет вертикальную асимптоту внутри промежутка или на его конце: например, ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

В обоих случаях стандартный интеграл Римана не определён, но иногда можно присвоить конечное значение с помощью пределов.

Если предел существует и конечен, несобственный интеграл сходится. Если предел бесконечен или не существует, интеграл расходится.

Несобственные интегралы играют центральную роль в теории вероятностей (нормировочные константы), преобразованиях Лапласа и Фурье и признаках сходимости рядов.

Как вычислять несобственные интегралы

Тип 1: Бесконечный промежуток

Замените бесконечность пределом:

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

Для обоих бесконечных пределов разбейте в любой удобной точке cc:

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

Обе части должны сходиться независимо — иначе весь интеграл расходится.

Тип 2: Неограниченная подынтегральная функция

Если ff неограничена в точке x=cx = c внутри [a,b][a, b], разбейте и возьмите пределы:

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

Если особенность в точке x=ax = a:

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

pp-признак

∫1∞1xp dxсходится при p>1, расходится при p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{сходится при } p > 1, \text{ расходится при } p \leq 1

∫011xp dxсходится при p<1, расходится при p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{сходится при } p < 1, \text{ расходится при } p \geq 1

Критический показатель — p=1p = 1. Обратите внимание на противоположные правила сходимости для двух случаев.

Признак сравнения

Если 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) на промежутке:

  • ∫g\int g сходится ⇒∫f\Rightarrow \int f сходится
  • ∫f\int f расходится ⇒∫g\Rightarrow \int g расходится

Полезно, когда сам интеграл сложен, но оценка проста.

Типичные ошибки, которых следует избегать

  • Считают ∞\infty числом: нельзя «подставить» ∞\infty. Нужно использовать предел.
  • Пропускают внутренние особенности: ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx имеет особенность в 00 внутри промежутка. Наивное вычисление даёт 00 (неверно) — интеграл на самом деле расходится.
  • Складывают кусочно-несобственные интегралы, которые «сокращаются»: ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx — обе половины расходятся, поэтому интеграл расходится. «Главное значение» — это другое (более слабое) понятие.
  • Неверное направление pp-признака: на ∞\infty 1/xp1/x^p сходится при p>1p > 1. В 00 сходится при p<1p < 1. Они противоположны — запомните оба.
  • Забывают проверить сходимость перед интегрированием: расходящийся несобственный интеграл не имеет значения. Всегда сначала проверяйте сходимость.

Examples

Step 1: Замените предел пределом: lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: Вычислите первообразную: ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: Примените пределы: lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: При t→∞t \to \infty e−t→0e^{-t} \to 0, поэтому предел равен 11
Answer: 11 (сходится)

Step 1: Примените pp-признак с p=1p = 1: ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx сходится тогда и только тогда, когда p>1p > 1
Step 2: Здесь p=1p = 1, поэтому интеграл расходится
Step 3: Проверка пределом: lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: Расходится

Step 1: Особенность в x=0x = 0. Используйте pp-признак в 00: 1/xp1/x^p сходится тогда и только тогда, когда p<1p < 1
Step 2: Здесь p=1/2<1p = 1/2 < 1, поэтому сходится
Step 3: Вычислите: lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (сходится)

Frequently Asked Questions

Несобственный интеграл сходится, если определяющий его предел конечен. Иначе он расходится, что означает, что площадь под кривой либо бесконечна, либо не определена.

p-признак применяется к интегралам вида ∫1/x^p по [1, ∞) или (0, 1]. Он наиболее полезен как сравнение: если ваша подынтегральная функция асимптотически ведёт себя как 1/x^p, можно быстро определить сходимость.

Несобственный интеграл сходится абсолютно, если сходится ∫|f|. Он сходится условно, если ∫f сходится, но ∫|f| расходится. Абсолютная сходимость строго сильнее.

Да — площадь может быть бесконечной. ∫_1^∞ 1/x dx — канонический пример: кривая y = 1/x всюду положительна на [1, ∞), однако площадь под ней бесконечна (расходится).

Related Solvers

Калькулятор интеграловКалькулятор пределовКалькулятор рядов

Related Guides

Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving