Калькулятор схемы Горнера

Схема Горнера — это сокращённый способ деления многочлена $p(x)$ на линейный множитель $x - k$. Она быстрее деления столбиком и даёт то же частное и остаток, только с меньшим объёмом записи.

Для $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$, делённого на $x - k$, схема Горнера даёт:

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

где $q(x)$ — частное (степени $n - 1$), а $r$ — постоянный остаток.

Ключевые применения:

1. Быстрое деление многочленов, когда делитель линейный $x - k$.
2. Вычисление $p(k)$ — по теореме об остатке $p(k) = r$, поэтому остаток в точности равен значению функции.
3. Разложение многочленов на множители — если $r = 0$, то $(x - k)$ является множителем, а $q(x)$ даёт сомножитель.
4. Поиск рациональных корней в сочетании с теоремой о рациональных корнях.

Подготовка

Чтобы разделить $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ на $x - k$:

1. Запишите корень делителя $k$ слева.
2. Перечислите коэффициенты $p(x)$ справа, включая нули для всех отсутствующих членов.

Алгоритм

1. Снесите вниз первый коэффициент ($a_n$) без изменений.
2. Умножьте на $k$ и запишите результат под следующим коэффициентом ($a_{n-1}$).
3. Сложите столбец. Запишите сумму в нижнюю строку.
4. Повторите: умножьте эту сумму на $k$, запишите под следующим коэффициентом, сложите.
5. Продолжайте, пока не закончите все коэффициенты.

Чтение результата

Нижняя строка содержит:

• Первые $n$ записей: коэффициенты частного $q(x)$ (в порядке убывания степени).
• Последнюю запись: остаток $r$.

Пример: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

Коэффициенты $x^3 + 0x^2 - 4x + 5$: $[1, 0, -4, 5]$. Корень делителя: $k = 2$.

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

Частное: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$. Остаток: $5$.

Итак, $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$.

Связь с теоремой об остатке

Остаток $r$ в $p(x) = (x - k)q(x) + r$ равен $p(k)$. Подставляя $x = k$:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

Таким образом, схема Горнера — это быстрый способ вычислить $p(k)$ без подстановки.

Теорема о множителе

Следствие: $(x - k)$ является множителем $p(x)$ тогда и только тогда, когда $p(k) = 0$, тогда и только тогда, когда остаток в схеме Горнера равен $0$.

• Пропуск нулевых заполнителей: для $p(x) = x^3 - 4x + 5$ нужно включить $0$ для отсутствующего члена $x^2$. Иначе столбцы сместятся.
• Ошибка знака у $k$: чтобы разделить на $x - 2$, используйте $k = 2$ (корень делителя). Чтобы разделить на $x + 3$, используйте $k = -3$.
• Нельзя использовать напрямую для делителей $ax - k$: схема Горнера в изучаемом виде работает для $x - k$ (старший коэффициент 1). Для $ax - k$ сначала вынесите $a$ за скобки или используйте деление многочленов столбиком.
• Забывают снести первый коэффициент: первый шаг всегда «снести $a_n$» — пока ничего не умножайте.
• Неправильное чтение частного: первые $n$ записей нижней строки — это коэффициенты, и степень понижается на 1. Многочлен 4-й степени, делённый на $x - k$, даёт частное 3-й степени.