Две стороны треугольника равны 3 и 5. Длина третьей стороны — корень уравнения x² − 6x + 8 = 0. Найдите периметр треугольника.

Step-by-step solution

1. 1

   Решаем квадратное уравнение и получаем кандидатов. Раскладываем на множители, подобрав два числа с произведением $8$ и суммой $-6$:

   $x^{2}-6x+8=(x-2)(x-4)=0\ \Longrightarrow\ x=2\ \text{или}\ x=4.$

   Оба числа положительны, поэтому очевидный фильтр «длина обязана быть положительной» проходят оба — на этом и построена ловушка задачи.

2. 2

   Вспоминаем условие, о котором уравнение ничего не знает. Три положительных числа образуют треугольник только тогда, когда каждая сторона меньше суммы двух других. При известных сторонах $3$ и $5$ третья сторона $x$ обязана удовлетворять

   $5-3<x<5+3,\qquad\text{то есть}\qquad 2<x<8.$

3. 3

   Проверяем $x=2$. Здесь $3+2=5$, то есть сумма равна оставшейся стороне, а не больше неё. Три отрезка легли бы на одну прямую, дав вырожденную фигуру нулевой площади, поэтому $x=2$ отбрасываем.

4. 4

   Проверяем $x=4$. Смотрим все три неравенства: $3+5=8>4$, $3+4=7>5$ и $5+4=9>3$. Все выполняются строго, значит треугольник со сторонами $3$, $4$, $5$ действительно существует — причём это знакомый прямоугольный треугольник, ведь $3^2+4^2=5^2$.

5. 5

   Вычисляем периметр. Допустим лишь один корень, поэтому ответ единственный:

   $P=3+5+4=12.$

   Ответ «$10$ или $12$» — типичная ошибка: он получается, если взять оба корня, не применив неравенство треугольника.