Калькулятор выделения полного квадрата

Выделение полного квадрата — это алгебраический приём переписывания квадратичного выражения $ax^2 + bx + c$ в виде:

$a(x - h)^2 + k$

где $(h, k)$ — вершина параболы.

Почему это важно:

• Сразу показывает вершину (точку минимума/максимума) параболы.
• Позволяет решить любое квадратное уравнение без формулы корней.
• Является приёмом, лежащим в основе вывода формулы корней квадратного уравнения.
• Используется для вычисления $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ в математическом анализе (сводится к арктангенсу).
• Необходимо для понимания гауссовых интегралов и многих тем в физике.

Основное тождество, на котором всё строится:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

Случай 1: Старший коэффициент равен 1

Для $x^2 + bx + c$:

1. Возьмите половину $b$ и возведите в квадрат: $(b/2)^2$.
2. Прибавьте и вычтите эту величину: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$.
3. Сгруппируйте полный квадрат: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$.

Пример: $x^2 + 6x + 5$

• Половина 6 — это 3. В квадрате: 9.
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Канонический вид: $(x + 3)^2 - 4$, вершина в точке $(-3, -4)$.

Случай 2: Старший коэффициент не равен 1

Для $ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$:

1. Вынесите $a$ за скобки из первых двух слагаемых: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$.
2. Выделите полный квадрат внутри скобок: половина $b/a$ — это $b/(2a)$, в квадрате $b^2/(4a^2)$.
3. Прибавьте и вычтите внутри: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$.
4. Упростите: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$.

Обратите внимание: при «отмене» добавленного слагаемого вы умножаете на $a$, так как содержимое скобок умножается на $a$.

Решение квадратного уравнения

Для $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Выделите полный квадрат, чтобы получить $a(x - h)^2 + k = 0$.
2. Выразите квадрат: $(x - h)^2 = -k/a$.
3. Извлеките корень: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$.
4. Найдите $x$: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$.

По сути это то, что делает формула корней квадратного уравнения в одном компактном выражении.

• Забывают сбалансировать: когда вы прибавляете $(b/2)^2$, вы должны также вычесть это. Иначе вы изменили выражение.
• Неправильная работа с коэффициентом: если $a \neq 1$, нужно вынести $a$ за скобки из первых двух слагаемых перед выделением полного квадрата, а затем умножить поправку на $a$ при раскрытии скобок.
• Ошибки знака с $\pm$: после извлечения корня нужно сохранить обе ветви. Пропуск $\pm$ теряет решение.
• Половина $b$ против $b/2a$: когда старший коэффициент равен 1, берите половину $b$. Когда нет — сначала вынесите за скобки, затем берите половину нового коэффициента.
• Забывают упростить константу: после выделения полного квадрата объедините оставшиеся константы в единое $k$.