Калькулятор уравнения прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом для линейного уравнения с двумя переменными имеет вид:

$y = mx + b$

где:

• $m$ — угловой коэффициент (наклон) — насколько круто прямая поднимается или опускается. Угловой коэффициент $= \dfrac{\text{приращение по }y}{\text{приращение по }x}$.
• $b$ — точка пересечения с осью y — значение $y$, в котором прямая пересекает ось y (точка $(0, b)$).

Почему эта форма особенная: она сразу выдаёт две геометрические характеристики — угловой коэффициент и точку пересечения с осью y — без каких-либо вычислений. Напротив, общий вид $Ax + By = C$ скрывает обе.

Форма с угловым коэффициентом — предпочтительная рабочая форма для построения графиков прямых, сравнения отношений параллельности/перпендикулярности и составления уравнений по описанию.

Случай 1: Из уравнения в общем виде

Дано $Ax + By = C$, выразите $y$:

$By = -Ax + C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$

Тогда $m = -A/B$ и $b = C/B$.

Случай 2: По двум точкам

Даны $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Затем используйте одну из точек, чтобы найти $b$:

$b = y_1 - m x_1$

Случай 3: По угловому коэффициенту и одной точке

Дан угловой коэффициент $m$ и точка $(x_0, y_0)$:

$b = y_0 - m x_0$

Случай 4: По графику

Считайте точку пересечения с осью y непосредственно там, где прямая пересекает ось y. Выберите другую узловую точку и подсчитайте $\text{приращение по }y / \text{приращение по }x$, чтобы найти $m$.

Особые случаи

• Горизонтальная прямая $y = c$: угловой коэффициент $m = 0$, точка пересечения с осью y $b = c$.
• Вертикальная прямая $x = c$: угловой коэффициент не определён. Нельзя записать в виде $y = mx + b$.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Две прямые $y = m_1 x + b_1$ и $y = m_2 x + b_2$ являются:

• Параллельными тогда и только тогда, когда $m_1 = m_2$ (одинаковый угловой коэффициент, разные точки пересечения)
• Перпендикулярными тогда и только тогда, когда $m_1 m_2 = -1$ (угловые коэффициенты — отрицательные обратные)

• Ошибки знака углового коэффициента: $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$. Вычитайте значения $y$ в том же порядке, что и значения $x$. Перестановка в одном, но не в другом, меняет знак.
• Деление на ноль: если $x_1 = x_2$, прямая вертикальна — угловой коэффициент не определён, формы с угловым коэффициентом не существует.
• Путают точку пересечения с осью y и с осью x: $b$ — это точка пересечения с осью y. Точка пересечения с осью x находится приравниванием $y = 0$ и решением относительно $x$.
• Забывают разделить на $B$: при преобразовании $Ax + By = C$ в форму с угловым коэффициентом нужно разделить каждое слагаемое на $B$, а не только слагаемое с $y$.
• Неверный перпендикулярный угловой коэффициент: перпендикулярность означает $m_1 m_2 = -1$, поэтому $m_2 = -1/m_1$. Простой смены знака или одного только переворота недостаточно.