Найдите расстояние от точки (3, 1, 2) до точки (1, 4, −1).

Step-by-step solution

1. 1

   Воспользуемся формулой расстояния в пространстве. Это дважды применённая теорема Пифагора — один раз в горизонтальной плоскости, один раз по вертикали, — и потому третий квадрат просто присоединяется к двум остальным:

   $d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$

2. 2

   Вычислим три разности координат. Вычитаем в одном и том же порядке (вторая точка минус первая):

   $\Delta x=1-3=-2,\qquad \Delta y=4-1=3,\qquad \Delta z=-1-2=-3$

   В конечном счёте порядок неважен, потому что каждую разность сейчас возведут в квадрат, — а вот менять порядок от координаты к координате нельзя.

3. 3

   Возведём каждую разность в квадрат.

   $(-2)^{2}=4,\qquad 3^{2}=9,\qquad (-3)^{2}=9$

   Обратите внимание: $(-3)^{2}=+9$. Именно возведение в квадрат делает расстояние независимым от направления.

4. 4

   Сложим и извлечём корень.

   $d=\sqrt{4+9+9}=\sqrt{22}$

   Поскольку $22=2\times 11$ не содержит квадратного множителя, $\sqrt{22}$ дальше не упрощается.

5. 5

   Дадим десятичное значение и оценим его. $\sqrt{22}\approx 4.6904$. Проверка: наибольшая разность координат равна $3$, и расстояние обязано её превышать, но быть меньше $2+3+3=8$; значение $4.69$ уверенно попадает в это окно ✓.