Основы теории вероятностей: правила, комбинаторика и примеры

Теория вероятностей количественно описывает неопределённость. Хорошая новость: большинство задач из домашних заданий сводятся к небольшому набору правил и к готовности аккуратно посчитать. Это руководство охватывает базу, которая понадобится вам, прежде чем переходить к распределениям, проверке гипотез или байесовскому выводу.

Что означает «вероятность»

Вероятность события $A$ равна

$P(A) = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все исходы}}$

при условии, что все исходы равновероятны. $P(A) \in [0, 1]$:

• $0$ = невозможно.
• $1$ = достоверно.
• $0.5$ = подбрасывание монеты.

Для неравновероятных исходов вы назначаете каждому исходу вес (именно это и делает распределение вероятностей).

Три основных правила

Правило сложения (вероятность A или B)

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Вычитайте пересечение, чтобы не считать дважды. Если $A$ и $B$ несовместны (не могут произойти одновременно), пересечение равно нулю.

Пример: извлекаем карту из колоды в 52 карты, $P(\text{Король или Червы}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$. (Одна карта является одновременно Королём и Червой, отсюда вычитание.)

Правило умножения (вероятность A и B)

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Если $A$ и $B$ независимы (одно не влияет на другое), $P(B | A) = P(B)$, что упрощается до $P(A) \cdot P(B)$.

Пример: бросаем две кости, $P(\text{обе 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$. (Броски независимы.)

Условная вероятность

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Вероятность $B$ при условии, что $A$ произошло. Основа теоремы Байеса и большей части статистического вывода.

Пример: вытянутая карта — фигурная. Какова вероятность, что это Король?

• $P(\text{Король и фигурная карта}) = 4/52$.
• $P(\text{фигурная карта}) = 12/52$.
• $P(\text{Король | фигурная}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$.

Подсчёт: перестановки и сочетания

Из $n$ элементов выбираем $r$:

• Перестановки (порядок важен): $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
• Сочетания (порядок не важен): $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$.

Решение принимается по вопросу «изменится ли результат, если поменять местами два выбранных элемента?»:

• Да (например, золотая медаль против серебряной) → перестановка.
• Нет (например, выбрать комитет из 5 человек) → сочетание.

Разобранный пример: лотерея

Выберите 6 чисел из 49. Порядок чисел в вашем билете не важен — сочетание.

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

Итак, $P(\text{выигрыш джекпота из 6 чисел}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$.

Независимые и несовместные (не путайте их!)

• Независимые: знание $A$ не меняет $P(B)$. Подбрасывания монеты независимы.
• Несовместные: $A$ и $B$ не могут произойти одновременно. Бросок кости не может быть одновременно 1 и 2.

Два события могут быть одним, другим, обоими сразу или ни тем ни другим. Это не одно и то же понятие, хотя их часто путают.

Типичные ошибки

• Ошибка игрока: «У меня выпало 5 орлов подряд, значит следующий точно будет решкой». Подбрасывания монеты независимы — прошлое не меняет будущую вероятность.
• Сложение несовместных вероятностей без вычитания пересечения. $P(\text{Король}) + P(\text{Червы}) \neq P(\text{Король или Червы})$.
• Смешение $P(A | B)$ с $P(B | A)$. Классическая ошибка прокурора: «При условии, что обвиняемый невиновен, вероятность этой улики мала; следовательно, при наличии улики вероятность невиновности мала». Логически неверно без применения теоремы Байеса.

Попробуйте сами

Введите любую задачу по теории вероятностей в калькулятор вероятностей — сложение, умножение, условная вероятность, с комбинаторикой. ИИ проведёт вас через каждый шаг.

Связанное:

• Глоссарий: теорема Байеса
• Сравнение: перестановка против сочетания
• Шпаргалка по формулам статистики