Описательная статистика

Среднее (генеральной совокупности)

$\mu = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

Среднее всех значений генеральной совокупности.

Среднее (выборочное)

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

Среднее выборки.

Дисперсия (генеральной совокупности)

$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum (x_i - \mu)^2$

Квадрат разброса, делится на N.

Дисперсия (выборочная)

$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2$

Поправка Бесселя: делить на $n-1$ .

Стандартное отклонение

$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Квадратный корень из дисперсии — те же единицы, что у данных.

Размах

$R = x_{\max} - x_{\min}$

Простейшая мера разброса.

Правила вероятности

Правило сложения

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Вероятность A или B (включения-исключения).

Правило умножения

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Вероятность A и B; сводится к произведению при независимости.

Условная вероятность

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Вероятность B при условии, что A произошло.

Теорема Байеса

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$

Обращает условные вероятности — диагностические тесты, машинное обучение.

Независимость

$P(A \cap B) = P(A) P(B)$

Выполняется тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ независимы.

Комбинаторика

Перестановки

$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

Порядок важен: разместить $r$ из $n$ .

Сочетания

$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Порядок не важен: выбрать $r$ из $n$ .

Дискретные распределения

Биномиальная функция вероятности

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$k$ успехов в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$ .

Среднее биномиального распределения

$\mu = np$

Ожидаемое число успехов.

Дисперсия биномиального распределения

$\sigma^2 = np(1-p)$

Разброс биномиального распределения.

Функция вероятности Пуассона

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$

Число редких событий со средней интенсивностью $\lambda$ .

Нормальное распределение

Функция плотности

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\bigl(-\tfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\bigr)$

Колоколообразная кривая, среднее $\mu$ , СКО $\sigma$ .

Z-оценка

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

Стандартизация для сравнения между распределениями.

Стандартное нормальное

$Z \sim N(0, 1)$

После преобразования в Z-оценку.

Правило 68-95-99,7

$P(|X - \mu| < k\sigma):\ 0.68,\ 0.95,\ 0.997$

Для $k = 1, 2, 3$ — справедливо только для нормальных данных.

Выводная статистика

Стандартная ошибка среднего

$SE = \frac{s}{\sqrt{n}}$

Стандартное отклонение $\bar{x}$ как оценки.

Доверительный интервал (среднее, известное $\sigma$)

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$z_{\alpha/2} = 1.96$ для 95% ДИ.

t-статистика (одна выборка)

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$

Проверка среднего = $\mu_0$ , когда $\sigma$ неизвестно.

Статистика хи-квадрат

$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

Критерий согласия / независимости для категориальных данных.

Линейная регрессия

Угловой коэффициент

$b_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$

Наклон наилучшего приближения (метод наименьших квадратов).

Свободный член

$b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$

Заставляет прямую проходить через $(\bar{x}, \bar{y})$ .

Корреляция Пирсона

$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}$

Сила и направление линейной связи, $r \in [-1, 1]$ .

Коэффициент детерминации

$R^2 = r^2$

Доля дисперсии $y$ , объяснённая $x$ .

Статистика Formulas