Перестановка vs сочетание

Перестановки и сочетания выглядят почти одинаково, пока вы не зададите один вопрос: важен ли порядок? Ошибётесь — и ваш ответ по вероятности окажется неверным в $r!$ раз или больше. Вот чёткое различие с разобранными примерами.

Ключевой вопрос: важен ли порядок?

• Да, порядок важен → перестановка. Выбрать 1-е / 2-е / 3-е место из 10 бегунов.
• Нет, порядок не важен → сочетание. Выбрать комитет из 5 человек из 20.

Те же 10 кандидатов могут давать разные ответы в зависимости от того, различимы ли роли.

Формулы

Для $n$ объектов, выбрать $r$:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}, \qquad C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}.$

Заметьте, что сочетание — это перестановка, делённая на $r!$: это $r!$ убирает упорядочения выбранных объектов, поскольку сочетаниям порядок безразличен.

Разобранные примеры

Перестановка: гоночный подиум

Десять бегунов, три медальных места (золото, серебро, бронза). Порядок важен — золото ≠ серебро.

$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$

Сочетание: лотерейные номера

Выберите 6 чисел из 49 — порядок на билете не важен.

$C(49, 6) = \binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13{,}983{,}816.$

Те же числа, другой ответ

Выберите 3 буквы из {A, B, C, D}.

• Как перестановка (3-буквенные пароли): $P(4, 3) = 24$. ABC, ACB, BAC, ... все различны.
• Как сочетание (просто выбрать 3 буквы): $C(4, 3) = 4$. {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.

Множитель $3! = 6$ между ними — это в точности $r!$ из формулы.

Быстрое правило выбора

В сомнении спросите: «Если я поменяю местами два выбранных объекта, изменится ли результат?»

• Да → перестановка
• Нет → сочетание

Выбрать капитана и вице-капитана → перестановка меняет, кто капитан → перестановка.
Выбрать 2 человек в дуэт → перестановка даёт тот же дуэт → сочетание.

Частые ошибки

• Смешивание двух, когда задействована вероятность. Знаменатель (всего исходов) и числитель (благоприятные исходы) должны использовать один и тот же способ подсчёта.
• Забыть делитель $r!$. Если вы вычислите перестановки, когда нужны были сочетания, вы пересчитаете в $r!$ раз.
• Различимые vs неразличимые объекты. Если некоторые объекты идентичны (например, 5 красных и 3 синих шара), ни одна простая формула не работает — нужен мультиномиальный коэффициент $\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots}$.

Попробуйте сами

Используйте наш калькулятор вероятности, чтобы вычислять перестановки и сочетания и применять их к реальным вероятностным задачам, пока ИИ ведёт вас через каждый шаг.