Шпаргалка по неравенствам: линейные, составные и с модулем

Неравенства встречаются в оптимизации, инженерных допусках и почти любой реальной задаче с ограничениями («бюджет не должен превышать…»). Механика похожа на решение уравнений, но есть одна критическая особенность: умножение или деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный. Это руководство собирает на одной странице все приёмы, которые вам нужны.

Линейные неравенства

Обращайтесь с ними точно так же, как с линейными уравнениями — за исключением того, что нужно менять знак на противоположный всякий раз, когда вы умножаете или делите обе части на отрицательное число.

Решите $-3x + 5 < 14$:

1. Вычтите 5: $-3x < 9$.
2. Разделите на $-3$ и поменяйте знак: $x > -3$.

Множество решений — открытый интервал $(-3, \infty)$.

Составные неравенства

Составное неравенство объединяет два более простых с помощью и (пересечение) или или (объединение).

Решите $-1 \le 2x - 3 < 5$ («сэндвич» с «и»):

1. Прибавьте 3 ко всем трём частям: $2 \le 2x < 8$.
2. Разделите на 2: $1 \le x < 4$.

Решение: $[1, 4)$.

Для неравенств с «или», таких как $x < -2$ или $x \ge 5$, решение состоит из двух непересекающихся частей: $(-\infty, -2) \cup [5, \infty)$.

Неравенства с модулем

Приём: $|A| < k$ переписывается как $-k < A < k$, тогда как $|A| > k$ переписывается как $A < -k$ или $A > k$.

Решите $|2x - 1| \le 5$:

1. Перепишите: $-5 \le 2x - 1 \le 5$.
2. Прибавьте 1: $-4 \le 2x \le 6$.
3. Разделите на 2: $-2 \le x \le 3$. Решение $[-2, 3]$.

Квадратные неравенства

Перенесите всё в одну сторону, разложите на множители, затем проверьте знак на каждом интервале.

Решите $x^2 - x - 6 > 0$:

1. Разложите на множители: $(x - 3)(x + 2) > 0$.
2. Корни делят прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 3)$, $(3, \infty)$.
3. Проверьте по одной точке из каждого: при $x = -3$ произведение положительно; при $x = 0$ — отрицательно; при $x = 4$ — положительно.
4. Решение: $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$.

Распространённые ошибки

• Забыть поменять знак при делении на отрицательное число — самая частая ошибка.
• Путать открытые и закрытые скобки: $<$ использует круглые скобки, $\le$ использует квадратные скобки.
• Возводить в квадрат обе части $|A| < B$ вслепую: это верно только когда обе части неотрицательны.

Проверьте с помощью ИИ-решателя неравенств

Введите любое неравенство в решатель неравенств, и вы увидите полный список шагов — идеально для перепроверки домашнего задания.

Связанные материалы:

• Решатель уравнений — та же алгебра, версия с равенством
• Решатель модуля — для задач вида $|A| = k$
• Квадратный решатель — в пару к квадратному случаю выше