arctan(0.003) をラジアンと度で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   問われていることを述べる。 $\arctan(0.003)$ とは、$\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$ の中で $\tan\theta=0.003$ を満たす角 $\theta$ である。逆正接はすべての実数を入力として受け取るので、arcsin や arccos と違って定義域の確認は要らない。

2. 2

   微小角の法則で答えを予想する。 テイラー展開は

   $\arctan t=t-\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}-\cdots$

   である。$t=0.003$ では第 2 項が $\tfrac{(0.003)^3}{3}=9\times10^{-9}$ となり、まったく無視できる。したがって $\arctan(0.003)\approx0.003$ ラジアンであり、小数第 8 位まで正確である。

3. 3

   ラジアンの値を示す。

   $\arctan(0.003)=0.0029999910\ \text{ラジアン}$

   級数の予想どおり $0.003-0.000000009=0.002999991$ ✓。答えが入力よりごくわずかに小さいのは、正の微小な $\theta$ に対して $\tan\theta>\theta$ だからである。

4. 4

   度に直す。 $\dfrac{180}{\pi}=57.29578$ を掛ける：

   $0.002999991\times57.29578=0.171887^\circ\approx0.1719^\circ$

   これは約 $10.3$ 分角にあたる。きわめて浅い角であり、勾配や据付の公差に現れる大きさである。

5. 5

   実務でどこに効いてくるかに触れる。 正接が $0.003$ とは $1000$ に対して $3$ の勾配のことである。つまり微小角の法則はこう言っている——浅い勾配では、ラジアンで測った角は勾配そのものに等しい。$57.3$ を掛ければそのまま度に変換できる。だからこそ測量士や技術者は、数度以下では勾配と角度を同じものとして扱える。

6. 6

   逆向きに検算する。 $\tan(0.002999991)=0.00300000$ ✓ となって入力が小数第 8 位まで復元され、$\tan(0.171887^\circ)=0.003000$ ✓ でもある。