逆三角関数計算機

逆三角関数は、標準的な三角関数を反転します。比が与えられると、角を返します。

$\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x$
$\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x$
$\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x$

三角関数は1対1でないため、適切な逆関数を定義するために定義域を制限します。

別の記法：$\sin^{-1}(x)$、$\cos^{-1}(x)$、$\tan^{-1}(x)$（注意：$\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x}$）。

主な関係：

• すべての $x \in [-1, 1]$ について $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$
• すべての $x$ について $\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$

逆三角関数は積分（$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$）、幾何学、航法、物理学に現れます。

方法1：既知の値を使う

標準的な値については、単位円を逆に使います。

$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{なぜなら } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

よくある厳密値：

方法2：直角三角形法

$\cos(\arcsin(\frac{3}{5}))$ のような合成を評価するには：

1. $\theta = \arcsin(\frac{3}{5})$ とおくと $\sin\theta = \frac{3}{5}$
2. 直角三角形を描く：対辺 $= 3$、斜辺 $= 5$
3. 隣辺 $= \sqrt{25 - 9} = 4$ を求める（ピタゴラスの定理）
4. したがって $\cos\theta = \frac{4}{5}$

方法3：代数的恒等式

簡約に便利な恒等式：

$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$
$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$
$\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

方法4：逆三角関数の導関数

これらは微分積分に不可欠です。

$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

手法の比較

• $\sin^{-1}(x)$ と $\frac{1}{\sin x}$ の混同：記法 $\sin^{-1}(x)$ は arcsin を意味し、余割ではありません。文脈を使うか、混同を避けるために「arc」記法を好んでください。
• 主値の値域を無視する：$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ であり、$\frac{11\pi}{6}$ ではありません。答えは定義された値域 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ になければなりません。
• 約分を誤って適用する：$x \in [-1,1]$ について $\sin(\arcsin x) = x$ ですが、$\arcsin(\sin x) = x$ は $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ のときのみです。この範囲の外では、適切な符号付きの基準角が得られます。
• 定義域の誤り：$\arcsin(2)$ と $\arccos(-3)$ は、定義域が $[-1, 1]$ なので実数では未定義です。
• ピタゴラスの段階での符号の誤り：直角三角形法を使うときは、主値の値域が示唆する象限に基づいて正しい符号をとることを確認してください。