求 5.58、5.53、6.19、5.66、5.87、5.62 的標準差。

Step-by-step solution

1. 1

   先求平均數並多留幾位。

   $\bar{x} = \frac{34.45}{6} = 5.741\overline{6} \approx 5.74167$

   這個平均數不是有限小數，所以只留兩位（$5.74$）會讓偏差平方明顯偏掉。到最後一步之前都要保留四到五位。

2. 2

   把每個對平均數的偏差平方。

   $(5.58 - 5.74167)^2 \approx 0.02614, \quad (5.53 - 5.74167)^2 \approx 0.04480$

   $(6.19 - 5.74167)^2 \approx 0.20100, \quad (5.66 - 5.74167)^2 \approx 0.00667$

   $(5.87 - 5.74167)^2 \approx 0.01647, \quad (5.62 - 5.74167)^2 \approx 0.01480$

3. 3

   把偏差平方加起來。

   $\sum (x - \bar{x})^2 \approx 0.30988$

   注意 $6.19$ 一個值就貢獻了其中的 $0.201$ — 約三分之二。離平均數很遠的單一數值之所以會主導變異數，正是因為偏差被平方了。

4. 4

   除以 n − 1 得到樣本變異數。 把這 $n = 6$ 筆資料視為樣本：

   $s^2 = \frac{0.30988}{5} \approx 0.06198$

   若這六筆就是全部母體，則要改除以 $6$，得 $\sigma^2 \approx 0.05165$。

5. 5

   開平方根。

   $s = \sqrt{0.06198} \approx 0.2490$

   所以樣本標準差約為 $0.249$（母體的值會是 $\sigma \approx 0.227$）。四捨五入到小數第二位，樣本的答案是 $0.25$。