微分方程式 dy/dx = 6 − y/2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   線形の標準形に直す。 $y$ の項を左辺に移す：

   $\frac{dy}{dx}+\frac12 y=6$

   これは $y'+p(x)y=q(x)$ で定数が $p=\frac12$、$q=6$ の場合にあたるので、積分因子法がそのまま使える。

2. 2

   まず平衡解を求める——答えの形が予測できる。 定数解であるためには $\frac{dy}{dx}=0$、すなわち $6-\frac{y}{2}=0$ なので $y=12$。この定数関数は実際に解になっている。元の形で $y$ の係数が負なので、解は $12$ に向かって減衰するはずである。答えは $12$ に減衰項を足した形になると予想できる。

3. 3

   積分因子を作る。

   $\mu(x)=e^{\int \frac12\,dx}=e^{x/2}$

4. 4

   両辺に掛けて積の微分を見抜く。

   $e^{x/2}\frac{dy}{dx}+\frac12 e^{x/2}y=6e^{x/2}\;\Longrightarrow\;\frac{d}{dx}\left(ye^{x/2}\right)=6e^{x/2}$

   左辺をひとつの導関数に畳み込むことこそ、因子 $e^{x/2}$ の存在意義である。

5. 5

   積分して $y$ について解く。 $\int 6e^{x/2}\,dx=12e^{x/2}+C$ だから、

   $ye^{x/2}=12e^{x/2}+C\;\Longrightarrow\;y=12+Ce^{-x/2}$

   変数分離でも同じ解の族が得られ、積分定数は $C$ に吸収される。

6. 6

   検算して挙動を読み取る。 微分すると $y'=-\frac{C}{2}e^{-x/2}$、一方右辺は

   $6-\frac{y}{2}=6-6-\frac{C}{2}e^{-x/2}=-\frac{C}{2}e^{-x/2}$

   となり、任意の $C$ で両者は一致する。$x\to\infty$ では指数関数が消え、初期値によらず $y\to 12$ となる。したがって $y=12$（$C=0$ の場合）は安定な平衡解である。