微分方程式 dy/dx = 3 - 4y を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   型を見きわめ、平衡解を見つける。 右辺は $y$ にしか依存しないので、この方程式は変数分離形である（同時に 1 階線形でもある）。$3-4y=0$ とおくと定数解 $y=\tfrac34$ が得られる。導関数が 0 になる水準である。ほかのすべての解はこの値に近づくか遠ざかるかするので、最終的な答えにもこの値が現れるはずである。

2. 2

   変数を分離する。 $3-4y$ で割り（$y\neq\tfrac34$ のとき有効）、$dx$ を掛ける。

   $\frac{dy}{3-4y}=dx$

3. 3

   置換 $u = 3 - 4y$ を使って両辺を積分する。 $du=-4\,dy$ なので $dy=-\tfrac14\,du$ であり

   $\int\frac{dy}{3-4y}=-\frac14\int\frac{du}{u}=-\frac14\ln|u|+C$

   となる。$-\tfrac14$ は連鎖律から出るもので、最も落としやすい段階である。

   $-\frac14\ln|3-4y|=x+C$

4. 4

   対数を外す。 $-4$ を掛けて指数をとる。

   $\ln|3-4y|=-4x+C_1\qquad\Longrightarrow\qquad |3-4y|=e^{C_1}e^{-4x}$

   $3-4y$ の符号を定数に吸収させれば絶対値を外せる。すなわち $3-4y=Ae^{-4x}$（$A$ は 0 でない任意の実数）である。

5. 5

   y について解き、定数をまとめる。

   $y=\frac{3-Ae^{-4x}}{4}=\frac34-\frac{A}{4}e^{-4x}=\frac34+Ce^{-4x}$

   $A$ が任意だったので $-\tfrac{A}{4}$ を $C$ と置き直してよく、さらに $C=0$ を許せば、ステップ 2 の割り算で除外された平衡解 $y=\tfrac34$ も回収される。

6. 6

   代入して検証する。 微分すると $y'=-4Ce^{-4x}$ である。一方 $3-4y=3-3-4Ce^{-4x}=-4Ce^{-4x}$ で一致する ✓。数値でも $C=2.3$ として $x=0.1$ では両辺とも $-6.16694$、$x=-0.4$ では両辺とも $-45.5679$ になる ✓。

7. 7

   挙動を読む。 $x\to\infty$ のとき $e^{-4x}\to0$ なので、どの解も出発した側から $y=\tfrac34$ に近づいていく。この平衡は安定であり、$y$ に付く係数 $-4$ が負であることがまさにそれを予告している。