円 x^2 + y^2 = 4 の右半分に沿って、y が増加する向きに (e^x sin y - xy) dx + (xy + e^x cos y) dy の線積分を計算せよ。

Step-by-step solution

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   経路とその端点を確定する。 $x^2+y^2=4$ の右半分は $(2,0)$ を通って $(0,-2)$ と $(0,2)$ を結ぶ。$y$ が増加する向きということは、$(0,-2)$ から出発して $(0,2)$ で終わるということである。端点を押さえておくことが大事なのは、被積分式の一部が経路によらないことが後で分かるからである。

2. 2

   媒介変数表示の前に完全性を調べる。 $P=e^x\sin y-xy$、$Q=xy+e^x\cos y$ とすると、

   $P_y=e^x\cos y-x,\qquad Q_x=y+e^x\cos y.$

   これらは等しくないので、このベクトル場は保存場ではなく、積分全体が経路によらないとは言えない。しかし食い違っているのは $-xy$ と $xy$ の項だけである。

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   完全微分の部分を切り出す。 次に注意する：

   $d\!\left(e^x\sin y\right)=e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy,$

   つまりこの2項は完全微分をなし、端点だけで決まる：

   $\int_L e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy=\Big[e^x\sin y\Big]_{(0,-2)}^{(0,2)}=\sin 2-\sin(-2)=2\sin 2.$

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   残りの部分を媒介変数表示する。 $\displaystyle\int_L -xy\,dx+xy\,dy$ には $x=2\cos t$、$y=2\sin t$、$t$ は $-\tfrac{\pi}{2}$ から $\tfrac{\pi}{2}$ までを使う（これで $x\ge 0$ が保たれ $y$ が増加するので、指定された向きと合う）。すると $dx=-2\sin t\,dt$、$dy=2\cos t\,dt$、$xy=4\sin t\cos t$ となり：

   $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(8\sin^2 t\cos t+8\sin t\cos^2 t\right)dt.$

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   対称性を使い、それから置換する。 $\sin t\cos^2 t$ は対称な区間で奇関数なので、その積分は $0$ である。もう一方の項には $u=\sin t$ と置く：

   $8\int_{-1}^{1}u^2\,du=8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}.$

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   2つの寄与を足す。 線積分は

   $\frac{16}{3}+2\sin 2\approx 7.1519,$

   となり、媒介変数表示した積分を直接数値計算した値と小数第5位まで一致する。