求 ln(x) · arctan(x) 對 x 的不定積分。

Step-by-step solution

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   先決定把哪一個因子拿去求導。 $\ln x$ 與 $\tan^{-1}x$ 的導數都很簡單，但反導函數都不好看。取 $u=\ln x$（於是 $du=\frac{dx}{x}$）、$dv=\tan^{-1}(x)\,dx$ 更好，因為隨之而來的 $\frac{1}{x}$ 會與 $v$ 裡的 $x$ 相消——這樣選，剩下的積分才會變簡單而不是變難。

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   先做一次分部積分求出 $v=\int\tan^{-1}x\,dx$。 取 $a=\tan^{-1}x$、$db=dx$：

   $\int\tan^{-1}x\,dx=x\tan^{-1}x-\int\frac{x}{1+x^{2}}dx=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2}).$

   最後那個積分是一次 $u$ 代換，取 $u=1+x^{2}$，$\tfrac12$ 就是這麼來的。

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   做主體的分部積分。 取 $u=\ln x$、$v=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})$：

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=\ln x\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)-\int\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)\frac{dx}{x}.$

   把積分符號內的各項都除以 $x$，得到

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-\int\tan^{-1}x\,dx+\tfrac12\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx.$

   這正是第 1 步預告的那個相消：$x\tan^{-1}x\cdot\frac1x$ 收攏成 $\tan^{-1}x$，而它的積分剛才已經算過了。

4. 4

   認出剩下的積分是雙對數。 那一塊 $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx$ 沒有初等的反導函數。作代換 $t=-x^{2}$，再對照定義 $\operatorname{Li}_{2}(z)=-\int_{0}^{z}\frac{\ln(1-w)}{w}dw$，得到

   $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx=-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   數值核對一下：在 $x=0.6$ 處對 $-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})$ 求導得 $0.5124745$，而 $\frac{\ln(1.36)}{0.6}=0.5124745$ ✓。

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   拼出閉式。 把第 2 步的 $\int\tan^{-1}x\,dx$ 與第 4 步的雙對數代進去：

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-x\tan^{-1}x+\tfrac12\ln(1+x^{2})-\tfrac14\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   所以答案確實有閉式，但前提是允許雙對數出場——任何初等函數的組合都寫不出它。

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   用數值求導驗證。 用中央差分算右端的導數：在 $x=0.5$ 處得 $-0.32137603$，而 $\ln(0.5)\tan^{-1}(0.5)=-0.32137603$ ✓；在 $x=0.7$ 處得 $-0.21783065$，對應值也是 $-0.21783065$ ✓。兩個互不相干的點上都吻合到八位數字，足以確認每一項的係數。