จงหาปริพันธ์ของ e^(−x²) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   ลองแทนค่าแบบที่นึกออกก่อน แล้วดูว่ามันล้มเหลว ให้ $u=-x^{2}$ จะได้ $du=-2x\,dx$ แต่ในตัวถูกอินทิเกรตไม่มีตัวประกอบ $x$ ให้ดูดซับ การแทนค่าจึงทำไม่จบ ส่วนการอินทิเกรตทีละส่วนก็วนกลับมาที่เดิมโดยไม่เคยง่ายขึ้น นี่ไม่ใช่เพราะคิดไม่พอ แต่ความล้มเหลวนี้เป็นเรื่องเชิงโครงสร้าง

2. 2

   รู้จักข้อความเชิงทฤษฎี ตามทฤษฎีบทของลียูวิลล์ว่าด้วยการอินทิเกรตในรูปจำกัดพจน์ $e^{-x^{2}}$ ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน ไม่มีทางเขียนออกมาด้วยพหุนาม ราก ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม และฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในจำนวนการดำเนินการที่จำกัดได้เลย เทียบกับ $\int xe^{-x^{2}}dx=-\tfrac12e^{-x^{2}}+C$ ซึ่งเป็นแบบมูลฐาน ก็เพราะ $x$ ที่เพิ่มเข้ามาทำให้การแทนค่าใช้ได้พอดี

3. 3

   แนะนำฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนในฐานะนิยาม นักคณิตศาสตร์ตั้งชื่อให้ปฏิยานุพันธ์ที่หายไปนี้

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

   ตัวประกอบนำหน้า $\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ ถูกเลือกให้ $\operatorname{erf}(\infty)=1$ ซึ่งทำให้ erf เป็นความน่าจะเป็นในทางสถิติ

4. 4

   ย้อนนิยามกลับเพื่อตอบคำถาม การหาอนุพันธ์ของนิยามให้ $\operatorname{erf}'(x)=\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}$ ดังนั้นการคูณด้วย $\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ จะหักล้างการทำให้เป็นบรรทัดฐานนั้นออกไป

   $\int e^{-x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C$

5. 5

   เทียบกับปริพันธ์จำกัดเขตตลอดเส้นจำนวนจริง แม้จะไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบมูลฐาน แต่ปริพันธ์จำกัดเขตกลับมีค่าพอดีจนเป็นที่เลื่องลือ

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}$

   ได้มาจากการยกกำลังสองแล้วเปลี่ยนไปใช้พิกัดเชิงขั้ว การมีปริพันธ์จำกัดเขตในรูปปิดนั้นเข้ากันได้ดีกับการไม่มีปริพันธ์ไม่จำกัดเขตในรูปปิด