จงหาปริพันธ์ของ 4e^(2x) − sin(2x) เทียบกับ x

Step-by-step solution

1. 1

   แยกปริพันธ์ด้วยสมบัติเชิงเส้น การอินทิเกรตกระจายเข้าไปในผลบวกและผลต่างได้ และดึงค่าคงตัวออกมาข้างหน้าได้

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=4\int e^{2x}\,dx-\int\sin 2x\,dx$

   แต่ละก้อนตอนนี้เป็นรูปมาตรฐานที่มีฟังก์ชันข้างในเป็นเชิงเส้น $2x$

2. 2

   จำกฎลูกโซ่ย้อนกลับสำหรับฟังก์ชันข้างในที่เป็นเชิงเส้น การหาอนุพันธ์ของ $e^{2x}$ ให้ตัวประกอบ $2$ เพิ่มมา การอินทิเกรตจึงต้องหารด้วยมัน

   $\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C,\qquad \int\sin ax\,dx=-\frac{1}{a}\cos ax+C$

   การหารนี้คือขั้นที่ถูกลืมบ่อยที่สุด และในข้อนี้มันทำให้คำตอบต่างกันเป็นสองเท่า

3. 3

   อินทิเกรตพจน์เลขชี้กำลัง

   $4\int e^{2x}dx=4\cdot\frac12 e^{2x}=2e^{2x}$

4. 4

   อินทิเกรตพจน์ไซน์ โดยตามรอยเครื่องหมายลบสองตัว กฎให้ลบมาหนึ่งตัว และนิพจน์เดิมให้มาอีกหนึ่งตัว

   $-\int\sin 2x\,dx=-\left(-\frac12\cos 2x\right)=+\frac12\cos 2x$

   ผลลัพธ์คือ $+\tfrac12\cos 2x$ ไม่ใช่ $-\tfrac12\cos 2x$

5. 5

   รวมเข้าด้วยกันแล้วเติมค่าคงตัวของการอินทิเกรต

   $\int\left(4e^{2x}-\sin 2x\right)dx=2e^{2x}+\frac12\cos 2x+C$

6. 6

   ตรวจด้วยการหาอนุพันธ์ย้อนกลับ $\frac{d}{dx}\left(2e^{2x}\right)=4e^{2x}$ และ $\frac{d}{dx}\left(\tfrac12\cos 2x\right)=-\sin 2x$ ซึ่งให้ตัวถูกอินทิเกรตกลับมาพอดี เชิงตัวเลขที่ $x=0.6$ อนุพันธ์ของคำตอบเท่ากับ $12.34843$ และตัวถูกอินทิเกรตเท่ากับ $12.34843$ ✓